集合论是如何成为数学基础的（集合论告诉你无穷可以比大小）

无穷大意味着没有大小的边界，两个无穷大之间却也可以比较大小，在集合的对应的法则中，我们找到比较两个无穷大之间大小的方法。

什么是无穷大? 简单地说 ， 无穷大就是无穷大的数 ， 它们比我们能想象到的无论多大的数都还要大。 数学中存在很多无穷大的数 ， 比如 ， “所有自然数的个数” ， “所有整数的个数” ， “实轴上所有点的个数” ， 显然都是无穷大的。对于这些无穷大的数 ， 我们能比较它们的大小 ， 看看哪个“更大些”吗?

前面几个无穷大的例子 ， 都是某个集合元素的个数。 因此 ， 要想比较两个无穷大的大小 ， 我们还得从集合谈起。

集合是数学家为事物的群体所起的名字 ， 集合当中的事物称为集合的元素。比如{1 ， 2 ， 3} ， {某个教室的座位} ， {某个袋子中的糖果} ， {整数全体} ， {实轴上所有的点} 都是集合。 不包含任何元素的集合称为空集。

需要注意的是 ， 集合的各个元素必须是彼此互异的 ， 哪些事物是给定集合的元素必须是明确的。 例如“全体瘦的人”不能构成一个集合 ， 因为一个人究竟算不算“瘦”没有明确的界限 ， 有时无法判断他是否属于这个集合。

一个集合的子集是一个新的集合 ， 其元素都属于原始集合。 如果子集不包含全部的初始元素 ， 那么称它为真子集。

集合按照它所包含的元素个数分为有穷集和无穷集。 空集与只包含有穷多个元素的集合称为有穷集 ， 包含无穷多个元素的集合称为无穷集。

对于有穷集 ， 只要有足够的时间 ， 我们总可以数出它的元素个数 ， 从而比较两个集合的大小。 其实 ， 不必通过数数 ， 我们也能比较两个集合的大小。 比如 ， 在一场音乐会上 ， 是人多还是座位多? 只要让每个人挑一个座位坐下 ， 如果人都坐下了 ， 座位还有剩余 ， 说明座位多; 如果座位都坐满了 ， 人还有剩余 ， 说明人多;如果人和座位刚好对应 ， 都没有剩下 ， 说明人和座位一样多。 老师给幼儿园小朋友发糖 ， 是小朋友多还是糖多? 只要给每个小朋友发一块糖 ， 就会知道最后是小朋友剩下了还是糖剩下了。 这种方法实际上是在寻找两个集合之间的对应关系。

设A ， B是两个非空集合 ， 如果有一个对应法则 ， 使A中的每个元素 ， 都有B中唯一确定的元素与之对应; 反之 ， 对于B中的每个元素 ， 都有A中唯一确定的元素与之对应 ， 则称该对应法则为集合A和B之间的一一映射或一一对应。

对于无穷集合 ， 通过数数的方法比较两个集合的大小显然是行不通的。 德国数学家康托尔(Georg Cantor)把集合元素个数的概念进行推广 ， 称其为集合的基数。 从上面的例子获得启发 ， 他引入了比较集合基数大小的如下两个原则。

比较集合基数大小的原则：

设A ， B是两个非空集合。

(I) 如果A与B之间存在一个一一映射 ， 则称它们具有相同的基数;

(II) 如果A与B没有相同的基数 ， 但A与B的一个真子集有相同的基数 ， 则称A的基数比B的基数小。

显然 ， 这个推广是比较合理的。 但是 ， 当我们真正利用这个原则来比较两个集合的大小时 ， 还是会大吃一惊。

比如 ， {正奇数全体} 和 {正偶数全体} ， 这两个集合有相同的基数。 因为这两个集合的元素之间可以建立如下的一一对应关系 ：

这个表中 ， 每一个偶数都与一个奇数相对应。 这和我们的直观感觉是一致的。

那么 ， {正整数全体} 和 {正偶数全体} ， 这两个集合的基数哪个大呢? 从直观感觉来判断 ， 我们会觉得前者大一些 ， 因为所有的正整数不但包含了所有的正偶数 ， 还要加上所有的正奇数。 但这只是我们的直观感觉而已。 只有应用上述比较两个集合基数大小的原则 ， 才能得到正确的结果。 事实上 ， 我们可以如下建立这两个集合之间的一一映射 ：

这时 ， 我们才恍然发现 ， 我们的直观感觉是错误的。

再举一个例子 ， 开区间(0 ，1)和实数全体集合。 一个是有限长的“线段” ， 一个是无限长的“直线” ， 它们具有“相同多的点”。 因为

是这两个集合之间的一一映射。 这个结论太不可思议了 ， 完全颠覆了我们的现有认知。 但根据康托尔比较两个集合基数大小的原则 ， 我们又不得不承认它是对的。

于是 ， 我们感叹 ， 无穷大的世界是超乎我们想象的!

现在 ， 关于康托尔提出的比较集合基数大小的原则 ， 还有一个问题需要解决。 有没有可能存在集合A与集合B ， 同时满足A的基数比B的基数小 ， B的基数又比A的基数小呢? 如果这种情况发生 ， 那么康托尔的比较原则是有问题的 ， 他提出的“基数”这个概念也就不能反映集合的大小了。 幸运的是 ， 康托尔-伯恩斯坦(Felix Bernstein)定理排除了这种可能性。

康托尔-伯恩斯坦定理：如果A与B的一个子集有相同的基数 ， 且B与A的一个子集有相同的基数 ， 那么A与B有相同的基数。

把A看作一个由猫组成的集合 ， 把B看作一个由狗组成的集合。 A与B的一个子集有相同的基数 ， 意思是 ， 存在A到B的一个子集的一一映射。 这个映射可以理解为 ， 每一只猫选择一条狗来追逐 ， 且不同的猫选择不同的狗。 注意 ， 有些狗可能是没有被猫追的。 同样地 ， B与A的一个子集有相同的基数 ， 意思是 ， 存在B到A的一个子集的一一映射。 这个映射可以理解为 ， 每一条狗选择一只猫来追逐 ， 且不同的狗选择不同的猫。 注意 ， 有些猫可能是没有被狗追的。 我们可以想象 ， 所有的猫和狗正在相互追逐。 此时 ， 我们记录下谁在追逐谁 ， 就会发现 ， 一共有4种不同的追逐模式。

模式(1) 包含偶数个动物的追逐圈;

模式(2) 没有起点也没有终点的追逐链;

模式(3) 由一只猫开始且没有终点的追逐链;

模式(4) 由一条狗开始且没有终点的追逐链。

因为一只猫只能追逐一条狗 ， 且不同的猫追逐不同的狗。 一条狗只能追逐一只猫 ， 且不同的狗追逐不同的猫。 所以 ， 每一条追逐链(或追逐圈)是相互分离的 ， 没有交点。 每一只猫或每一条狗只能出现在一条追逐链(或追逐圈)中。 这样 ， 这些追逐链(或追逐圈)就把集合A和B分成了一些互不相交的子集。 对这4种不同的追逐模式定义不同的对应关系 ：

模式(1)(3) 把每一只猫与它在这个圈里(或链中)所追逐的那条狗对应起来;

模式(2)(4) 把每一条狗与它在这个链中所追逐的那只猫对应起来。

这样 ， 我们就找到了猫集合A与狗集合B之间的一一对应。 因此A与B有相同的基数。

关于有穷集合和无穷集合的区别 ， 德国数学家希尔伯特(David Hilbert)讲了这么一个有趣的故事 ：

现在设想有一个旅馆 ， 内设有穷个房间 ， 而且已经住满了旅客。 这时来了一位新旅客 ， 想要订个房间。 旅馆老板说 ：“对不起 ， 已经客满了。”

现在再设想一个旅馆 ， 内设有无穷多个房间 ， 而且已经住满了旅客。 这时来了一位新旅客 ， 想要订个房间。 “没问题!” 旅馆老板说。 然后他把1号房间的旅客安排到了2号房间 ， 2号房间的旅客安排到了3号房间 ， 3号房间的旅客安排到了4号房间 ， 以此类推。 最后他把新来的旅客安排住进了腾出来的1号房间。

这时来了一个旅行团 ， 有无穷多位旅客 ， 也想要住这家旅馆。 “好的 ， 各位朋友 ， 请稍等一会儿” 旅馆老板说。 然后他把1号房间的旅客安排到了2号房间 ， 2号房间的旅客安排到了4号房间 ， 3号房间的旅客安排到了6号房间 ， 以此类推。 这样他把所有奇数号的房间都腾出来了 ， 可以安排给新来的无穷多位旅客 ，问题解决了!

这时又来了无穷多个旅行团 ， 每个旅行团有无穷多位旅客。 只见这个老板不慌不忙 ， 他把每个旅客都妥善地安排进了自己的旅馆 。

本文转载自微信公众号阿得学数学