特征向量的归一化计算（基于齐次变换求解对称结构索轮组位姿的精确方法）

温新婕 杜俊明 樊俊宏 马春荣

北京起重运输机械设计研究院有限公司 北京 100007

摘 要：通过对索道线路8 轮组的分析，采用齐次变换方法，建立8 轮组位姿分析的计算模型，给出各转换矩阵，并通过基本矩阵的转换复制组装，得到8 轮组在变化出入绳角度下各轮心坐标的精确求解。此方法可以推广到所有对称轮组结构。

关键词：轮组；齐次变换；单元；矩阵

中图分类号：TH235 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）19-0064-04

0 引言

索道轮组是重要的索道线路设备，求解不同工况下索道轮组的位姿，对于索道设计有着重要的参考意义。通常精确计算采用绘图方式，步骤繁琐且效率不高。随着高速大运量索道技术的发展，需要探讨精确高效的计算方法[7]。齐次变换法是机构动力学分析中最常用的方法，它将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来，便于计算和运用，有着巨大的优越性[1]。齐次变换方法在工程机械研究领域有着广泛的应用[2-6]。文中首次在索道轮组位姿分析中引入齐次变换方法精确求解，编程后可提高设计精度与效率。

1 对称结构轮组结构

索道线路支撑结构如图1 所示，索轮组支撑着线路钢丝绳，线路支架通过铰轴支撑起索轮组结构。在索道系统运行过程中，随着线路上吊具的运行, 钢丝绳载荷不断变化，因此钢丝绳与水平线夹角入绳角φ1，出绳角φ2 也不断变化。对于不同的出入绳角，求解索轮组的空间位姿确定对索道设计有重要的参考意义。文中使用齐次变换方法求解轮组相对于支架和轮组铰轴的位姿。

图1 线路支撑结构简图

2 齐次变换、平移变换与旋转变换

三维直角坐标系中, 一个点坐标用齐次坐标方法可以表示为[T, x, y, z ,1]T。刚体的运动是由转动和平移组成，齐次变换H可以用来表示平移、旋转等各种变换[1，3]。

2.1 平移变换

空间一点沿X 方向平移a 单位，Y 方向平移b 单位，Z 方向平移c 单位，变换矩阵为

2.2 旋转变换

根据直角坐标的旋转变换，易得绕齐次坐标X，Y，Z 轴旋转θ 角相应旋转变换为

2.3 平移加旋转变换

平移加旋转变换可以用矩阵连乘的方法复合在一个矩阵中。

3 建立计算模型

钢丝绳在轮组上出入绳角差定义为绳折角φ ，则

建立索轮组计算模型如图2。因为每个索轮可以自由转动，每两个索轮之间通过梁L 连接，两组2 轮组通过梁L1 连接为4 轮组，4 轮组再通过梁L2 连接为8 轮组。梁L1 和L2 可以转动，故假设钢丝绳通过每个单轮的绳折角均匀，则每个轮上的绳折角

式中：n 为索轮数量，如图2，n=8。求解各索轮的位姿问题可以转化为在变化的φ 1、φ 2 下求解各索轮相对于铰轴15 的位姿。

图2 计算模型

4 齐次变换法求解

因本文所述变换在XY 二维平面内，所以齐次坐标与转换矩阵均采用二维坐标系内表达方法。

4.1 2 轮组基本变换方法

如图3 所示，建立X1，Y1 坐标系下2 轮组基本单元，坐标原点为点3，X1 与L12 平行。

图3 基本2 轮组单元

将点1，2，3 在X1，Y1 坐标系内坐标用齐次坐标法表达

4.2 4 轮组基本变换方法

坐标系（X1，Y1）、（X2，Y2）、（X3，Y3）如图4 所示。因为每两个轮之间折角都为θ，易知L45 与L12 的夹角为2θ， 则点4、5、6 在坐标系（X2，Y2）的坐标T2 可采用点1、2、3 在坐标系（X1，Y2）坐标T1 旋转2θ 得来，根据齐次转换法可知旋转转换矩阵

图4 第一组四轮组单元

同理可得点4、5、6 在坐标系（X3，Y3）中坐标点T3B及平移转换矩阵

4.3 组装下一个4 轮组位姿

建立坐标系（X4，Y4），（X5，Y5）如图5。同理点8-14在坐标系（X4，Y4）中坐标T4 可采用点1-7 在坐标系（X3，Y3）中坐标旋转得到，旋转矩阵为

图5 L 12 水平时8 轮组图

4.4 组装8 轮组（X 5，Y 5）坐标系各点位姿

与4.2 同理，可得点1-7 在坐标系（X5，Y5）中坐标T5A 可通过T3 平移得来，平移矩阵为H5，点8-14 在坐标系（X5，Y5）中坐标T5B 可通过T4 平移得到，平移矩阵H6，得

4.5 旋转变换成对应坐标系（X ，Y ）中8 轮组实际位姿

对比图5 与图2 可知，坐标系（X5，Y5）中各点转换成坐标系（X，Y）中各点坐标的转换矩阵

坐标系（X，Y）中1-15 各点坐标矩阵

T63×15=H7 · T5

此矩阵中每列对应如图2，以点15 为原点，1-15点各点的坐标。至此，对于确定出入绳角的8 轮组在（X，Y）坐标系中各轮心坐标可准确求解。

5 结论

文中将齐次坐标方法引入索道轮组位姿的求解，建立了计算模型，定义了基本轮组单元，给出了各转换矩阵，并通过基本矩阵的转换复制组装，得到8 轮组在变化出入绳角度下各轮心坐标的精确求解，本方法适用所有对称轮组结构，并为批量标准化计算以及索道系统仿真提供了理论基础。

参考文献

[1] 刘延柱 洪嘉振 杨海兴. 多刚体系统动力学[M]. 北京：高等教育出版社，1989.

[2] 温新婕 多刚体系统动力分析的等效有限元法初探[D]. 哈尔滨：哈尔滨建筑大学,1997.

[3] 何雪涛, 程源, 黄钟, 等. 齐次坐标变换在空间机构分析中的应用[J]. 北京化工大学学报( 自然科学版),1999(1):43-46.

[4] 吕广明, 李洪亮. 基于齐次变换的群塔作业防碰撞技术研究[J]. 中国工程机械学报,2009,7(1):114-117.

[5] 赵强, 吴洪涛, 朱剑英. 车载起重机械吊臂工作范围的研究[J]. 机械科学与技术,2005(12):1460-1462，1506.

[6] 臧红彬, 陶俊杰, 张辉. 基于齐次坐标变换的装载机工作装置运动学分析[J]. 机械传动,2015,39(11):46-49，71.

[7] GB12352—2018 客运架空索道安全规范[S].

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