与三角形中位线有关的定理（温故建构新知论证生成巧思）

本文为“第三届数学文化征文比赛

温故建构新知 论证生成巧思

——三角形的中位线定理的探究

作者: 王玉娇 郑 林

作品编号：020

【摘要】本文借助平行四边形的对角线互相平分是三角形中位线定理的最近知识生长点，引出概念并建构模型探讨不同视角下的论证方法。进而通过古题新做打破固有思维、完成知识的吸收和内化。本文旨在提升学生的探究水平和知识的迁移能力。

现行人教版教材涉及三角形中位线定理的概念教学中缺少且内容衔接不够自然。

【关键词】中位线；平行四边形；定理；论证；

数学是研究空间模型和数量关系的一门系统学科。而三角形的中位线既体现了线段的数量关系又体现了位置关系，本节课是数学之美的体现，也是承上启下衔接各知识点间的桥梁。本文主要从三角形中位线定理概念的生成、定理的论证及知识的巩固三个部分进行探究。现行人教版的初中数学把三角形的中位线定理放在18.1.2平行四边形的判定（2）中来学习，体现了需要利用平行四边形的知识来探究三角形中位线定理的设计意图。但是教材和大部分教师在引入或者概念的生成部分的设计与平行四边形是独立的，内容衔接上不够自然，且缺少探索发现该定理的过程。事实上三角形和平行四边形是相互关联的，这样直接切入显得生硬和知识的断层。本文的创新之处在于，直接利用平行四边形的一道习题变式作为引入，利用平行四边形的性质顺势发现、提出、论证三角形的中位线定理，前后衔接过渡更加自然，而不必另辟蹊径，创设更多陌生情境^[1]。

一、类比联想获新知：概念的生成过程

在三角形中位线定理的教学中，基于无法迅速优化教材，那身为教师可以选取一种策略作为教材与学生之间的衔接桥梁。在根据平行四边形性质的关联性增设中位线定理的发现过程中，激发学生的潜能和学习数学的兴趣。激发学生的学习兴趣不在于片面的追求新和怪，如果能从学生熟悉的原教材、旧例题中挖掘出具有启发性的东西更能激发学生的求知欲。本环节立足于学生已有的认知，在此基础上达到最近的发展区水平，这样的教学设计更能激发学生独自钻研的主动性和发现数学知识间的环环相扣之美。

例题引入：如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

（1）点O平分哪些线段？

（2）如图2，当线段BD所在的直线绕点O旋转，分别交线段AB，CD于点E、F,点O平分线段EF吗？

（3）如图3，在旋转过程中，当点E为线段AB的中点时，我们可以得到那些特殊的结论？

结论：点F为线段CD的中点；从位置关系看EF//BC；从数量角度看。

（4）去掉图3中平行四边形ABCD的对角线AC右侧部分的图形，得到如图4所示的三角形，则EO是连接△ABC的两边AB,AC中点的线段。像EO这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线^[2]。

（5）探究：三角形的中位线有什么性质？

从（3）中归纳得到定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半^[2]。

设计分析：本例题是平行四边形的性质课时的经典拓展题，上节课学生通过平行四边形的性质易证无论EF所在直线绕O点如何旋转总有△AOE≌△COF，本节课继续探究当EF所在直线旋转成如图3所在的特殊位置时能自然得出三角形的中位线定理。本例题不但实现了课时上和知识点上的衔接，而且实现了平行四边形和三角形间的互相转化，为后面定理的论证提供了辅助线的添加思路。同时让我们明白对“旧”知识与“旧”例题的深入挖掘往往会有意想不到的惊喜。

二、探索碰撞生巧思：定理的论证过程

如何让知识在思维里生长？学生只有在自我探索、实践中不断建构、优化、类比才能深刻体会三角形与平行四边形间的相互转化关系。我们借助三角形中位线定理的论证过程来继续深化认知。本环节可以遵循分析思路——添加辅助线——进行论证三步原则进行。借助引课的例题分析从不同视角得出不同的论证方法。

（一） 论证视角：建构平行四边形

如图5，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE。求证：DE∥BC，且 。

方法一：（倍长中线模型1）如图6，延长DE至点F，使EF=DE，联结CF，可证△ADE≌△CFE，得到平行四边形DBCF，因此得出DE∥BC，且。

论证思路：这种做法是结合已知和结论，运用综合法，通过倍长线段，实现将倍分关系转化为相等关系从而同时解决了数量和位置关系。

方法二：（构造平行模型1）如图6，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F ，仍然证两个三角形全等，得平行四边形从而得出结论.

设计分析：这两种做法是学生比较容易想到的，而且出现的辅助线图形一样，但一样的图却有不一样的说法。它们通过倍长线段或作平行将倍分关系转化为相等关系，其本质是一样的，都是最终转化为平行四边形来解决问题.另外为学生今后证明线段平行积累了一种重要方法：要证平行，不仅可以依据角的数量关系，还可以依据平行四边形的性质来解决.

方法三：（倍长中线模型2）如图7，延长DE至点F，使EF=DE，连接DC，AF，CF，

论证思路：构造平行四边形ADCF，从而进一步得到四边形DBCF为平行四边形，定理得证。

设计分析：前三种方法的实质都是将三角形问题转化为平行四边形来解决.上个单元研究平行四边形时是用三角形知识解决的，而今天我们又利用了平行四边形的知识解决了三角形的问题，体会相互转化的数学思想方法。

方法四：（构造平行模型3）如图8，取BC的中点F，连接EF并延长FE至点G，使EG=EF，连接AG。

论证思路：证△AGE≌△CFE，和四边形ADEG、四边形DBFE分别为平行四边形，最后得出结论.

设计分析：这种做法其实和方法一的实质是相同的.更复杂的原因是重新构造了一条中位线EF，从而证得的是EF//AB,且。,此时关于中位线和第三边的关系直接得到证明。

方法五：（构造平行模型4）如图8，过点A作AG//BC,过点E作EF//AB,交BC于点F，交AG于点G，得到平行四边形ABFG。

论证思路：易证△AEG≌△CEF，另证四边形ADEG和四边形DBFE分别为平行四边形，从而定理得证。

设计分析：方法呈现之后，引导学生对五种方法进行比较，辅助线、思考问题方式、证明方法的不同，体会到各种证明方法的本质都是将三角形的问题转化为平行四边形的问题来解决.

（二）论证视角：古书的精华，先人的智慧

在数学教学过程中我们可以适当培养学生追本逐源，探究问题来源，刨根问底的优良数学品质，而考察问题的本源和发展历史是最行之有效的方法。《九章算术》和《几何原本》是古代中西方数学史上的两个重要代表作品，接下来我们来看看两大著作对三角形中位线的论证。

方法六：（欧几里得之“面积法”）古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中，证明三角形中位线定理的方法是：将线段之间的关系转化为三角形面积之间的关系，再将三角形面积之间的关系转化为直线的位置关系^[3]。

如图9，在△ABC中，点D、点E分别是线段AB、线段AC的中点，连结BE和DC，因AD=BD，AE=EC，故,于是得故得DE//BC。另一方面，因为

方法七：（刘徽的“割补法”）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中通过割补法的来推导三角形中位线定理，其方法是：连接两腰中点（中位线）,过顶点作中位线的垂线，将中位线上方的小三角形分割成两个小直角三角形，分别将它们补到相应位置（图10），得到一个矩形，故矩形的长为原三角形的底，则中位线与底边平行，且等于底边的一半^[3]。

问题：（触类旁通）

1、观察图10，你还有其它类似的方法吗？（如图11利用割补法构造矩形）

2、如果不是做高线，而是在DE上取任意点H，连接AH，你能借用刘徽的割补法来证明吗？（如图12构造平行四边形）

在教学中融入中位线定理的历史证明方法，学生在追寻历史足迹的过程中，可以感受数学学科深厚的文化底蕴，感受中西方数学家为数学学科发展做出的卓越贡献，近代教科书中还出现了“同一法”“反证法”等，因篇幅原因不做扩展。

用多种方法来论证三角形的中位线定理，不仅能够巩固所学到的认知，通过一题多解，分析比较，观察方法之间的差异性，能够培养学生的创造性思维。一题多解其精华不在于“多”而在于归纳。我们在发散思维之后观察到我们的解法可以分成同质异形和异质同形两类。比如在论证中发现不同的构造方法实质都是将三角形问题转化为平行四边形的问题，这就是“同质异形”；同样的构造方法不同的思维角度，这就是“异质同形”。引导学生将上述的证法进行对比、归纳让学生吃透题型从而学会举一反三.

三、古题新做固认知：知识的巩固过程

三角形的中位线定理最早在古籍中出现是用于土地分割问题。在古巴比伦泥版上的故事：在古代两河流域，有四位兄弟幸福和睦地生活着，而父亲去世打破了四兄弟平静的生活，他们为分割父亲留下的一块土地而争论不休，谁都不肯吃亏。已知土地为三角形形状，请你利用所学的数学知识设计土地分割方案，并给出方案的理论依据，以此说服四兄弟接受方案^[4]。

如图13-图18所示，通过构造三角形的中线和中位线得到六种不同方法。在构造过程中可以借机辨析三角形中线与中位线的概念如图19、图20。引导学生从数量、位置、性质及构造图形的角度分别阐述三角形的中线与三角形中位线的不同之处。

如图19，任意三角形都有三条中线，它们在三角形内部且交于一点，且平分面积。如图20，任意三角形都有三条中位线，中位线EF，DE和DF把原三角形分成四个全等三角形，即△AEF≌△EBD≌△DFE≌△FDC；三条中位线与原三角形构成平行四边形AEDF，平行四边形EBDF，平行四边形EDCF。

古代两河流域的数学家们其实最早研究的是平行线分线段成比例定理，而三角形的中位线定理不就是其中的特例吗。聪明而朴素的古人们在生产生活中发现了定理，最终证明并把它运用到实践中去，体现了我们数学模型来源于生活又服务于生活的宗旨。

四、意犹未尽话教学：探究后的几点思考

（一） 思之美——在于俯瞰全局

三角形中位线定理的证明及应用过程中，渗透了类比、转化、归纳等数学思想，其中类比是几何学中重要的思想方法，天文学家开普勒曾说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学里，它是最不容忽视的^[5]。类比思想在学生的后续学习生涯乃至其它学科的研究都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义．

（二）师之慧——在于精益求精

几何作为初中数学的重要组成部分，其教学应着眼于如何提高学生的核心素养。教师应站在一定的知识高度上俯瞰全局，寻找学生新知的出发点和最终落脚点，架构它们之间的最佳路径。基于三维目标的高度来设计教学方案，并注意各知识点间的关联和整合最后实现了学生学习能力的提升和综合素养的增强。教师在不断研究和探索过程中敢于打破常规、寻求真理并体验教学成功的乐趣。

（三）史之趣——在于文化传承

本课抓住概念生成，论证探究，古题新做这三条主线，并且在这三个过程中自然渗透古今中外关于三角形中位线定理的探究历史。不论是欧几里得的“面积法”与刘徽的“割补法”都向我们展示了图形之美、建构之妙。在这样的教学下我们师生共同感受到了数学的博大精深和历史悠久，这么优秀和多元化的知识需要我们代代薪火相传并且发扬光大！

【参考文献】

[1] 吴增生.三角形中位线定理教材设计之我见[J].中国数学教育(初中版),2018(12):3-5,10.

[2] 义务教育教科书.数学.八年级.下册（2013.9版）[M].北京：人民教育出版社，2019.（11）：47-49.

[3] 李霞,汪晓勤.三角形中位线定理的历史[J].数学教学月刊,2016(9):58-60.[4] 李铁,严达强,张晓斌.数学史有效融入课堂教学的若干思考[J].中学数学教学参考(中旬),2020(8):17-20.

[5] 行川.类比与猜想[J].时代数学学习：8年级,2006（5）.

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