素数与合数(自然数的分解合数与素数)
人们在研究事物时,总喜欢去探索本源,而这通常就需要对事物进行分解,比如物理学就致力于寻找构成物质的基本粒子数学家们也一样,在研究自然数时,也希望能够找到构成自然数的“基本粒子”,通过对自然数的分解,探究“最基本的数”,这也是本文的主旨内容,也就是讲解合数与素数,今天小编就来说说关于素数与合数?下面更多详细答案一起来看看吧!
素数与合数
人们在研究事物时,总喜欢去探索本源,而这通常就需要对事物进行分解,比如物理学就致力于寻找构成物质的基本粒子。数学家们也一样,在研究自然数时,也希望能够找到构成自然数的“基本粒子”,通过对自然数的分解,探究“最基本的数”,这也是本文的主旨内容,也就是讲解合数与素数。
素数指的是大于1的且只能被1和自身整除的自然数,其他的大于1的自然数被称为合数。举例说明:最小的素数是2,因为只有1和2这两个因子;最小的合数是4,因为它的因子包括1,2,4.我们认为素数是不可分的,也即不能分解成其他数的乘积,但合数能够分解成其他素数的乘积,所以,素数就好比是自然数的“基本粒子”。这样的“基本粒子”有多少个呢?这是数学家们很自然就会想到的问题,第一个解决这个问题的是欧几里德(约公元前330-公元前275,中国战国中后期),用的是反证法,参考如下:
假设素数的个数是有限的,总共有n个,按大小依次排列为,构造一个数,它是所有素数的乘积再加上1,如,很显然a不被任何一个素数整除,更不可能被任何合数整除,因此,a也是素数,假设即不成立,素数是无限多个的。
但是,如上构造法得到的数并非一定是素数,我们以20以内的素数来举例计算:
其中,,即不是素数。如何寻找素数是数学家几千年一直努力的方向,最早的寻找方法叫做“筛法”,也是比较原始的方法,举例寻找20以内的所有素数,先把20以内的自然数(1去掉)依次排列如下:
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
第一步,去掉所有2的倍数,得到2,3,5,7,9,11,13,15,17,19;
第二步,再去掉所有3的倍数,得到2,3,5,7,11,13,17,19
然后,依次去掉所有5的倍数及其他素数的倍数,本例中最终结果是:2,3,5,7,11,13,17,19。
但是这样的方法确实太慢了,数学们希望能够找到更快速的方法来寻找素数,比如著名的业余数学大师费马(1601-1665,明朝万历29年-清朝康熙4年),他在中国最广为人知的是以他命名的费马大定理,他提出一个公式来产生素数,并自认是正确的,这个公式如下:
,费马算出了前4个数,均为素数,如下:
但是,号称所有人的老师的欧拉(1707-1783,清朝康熙46年-乾隆48年)算出第五个数,立马推翻了费马的结论,,再往后算得到结果也不是素数,如。
另一个构造素数的方法是,梅森(1588-1648,明朝万历16年-清明顺治5年)与费马通信探讨过这个公式,并经过四年研究,得到结果当n=2,3,5,7,13,17,19时,这个公式计算所得的数是素数,同时,猜想n=31,67,127,257时,所得的数也是素数(人们称这种素数为梅森素数),但是,1930年,数学家科尔算出,推翻了梅森的猜想。2016年,美国数学家库珀发现第49个梅森素数,即,这个素数有22338618位。借助计算机强大的计算能力,帮助人们继续寻找更大的梅森素数,“互联网梅森素数大搜索”(简称GIMPS)项目动用180个国家和地区超过27万人,70万台计算机来寻找梅森素数。
数学们至今都未能找到一个行之有效的产生素数的方法!
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