如何使用计算机制作割圆术（正多边形逼近圆）

众所周知，圆周率是圆周长与直径的比值，而且是一个无理数，更进一步的说是一个超越数。由于计算的需要，古今中外的数学家从未停止对圆周率的计算，其中主要有7类方法：割圆术、分析法、沙-波法、椭圆积分法、概率法等。

割圆术的流程是通过作圆的内接或外切正多边形，计算多边形的周长或面积，再将正多边形的边数增加一倍，算出其周长或面积；再增加，再计算……；随着边数的增加，多边形的周长和面积就越接近圆的周长和面积，由此求得的圆周率也更精确。其中中国古人，用圆内接正多边形逼近圆求圆周率；西方则通过内接与外切正多边形两面“夹攻”，用算术平均近似圆周率；有的通过周长，有的通过面积。

使用连分数计算圆周率的人很少，可能是因为计算量大。比如布朗开罗的连分数

级数法是通过幂级数的展开，得到关于圆周率的解析式，属于分析法。最早由莱布尼茨得到一个解析式，之后欧拉、马庭等等数学家，获得了大量的该类解析式，其收敛的速度有快与慢。

使用最多的是反正切式，如维加在1789年发表的公式

“沙-波法“即“相关二次算法”，也叫“高斯-沙朗明-伯伦特法”。1976年，欧仁·沙拉明在《计算的数学》第30卷上，发表了重要论文《利用算术平均数与几何平均数计算π值的新方法》。理查德·波伦特于同年独立发现了类似的新方法。该算法是基于算术一几何平均值，和某些在19世纪原属于高斯的思想，但高斯没有将其与π的计算相联系。算法产生的近似值收敛速度，比任何经典公式都快得多。

之后又以此派生出其他的一些算法，都极大的提高了运算速度。

椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，首个使用的人是印度传奇的天才数学家拉马努金，他在1914年《模方程和π的逼近》一文中，给出了14个算π公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和π的快速逼近之间，联系紧密而优美的“拉马努金公式”：

但拉马努金只给出了一些不充分的解释，并没有给出公式的证明。直到1987年，才由乔纳森·波尔文和彼德·波尔文给出证明。1985年之后，椭圆积分法为一大批计算机算圆周率提供了新方法，多次刷新纪录。

18世纪法国数学家布丰和勒克莱尔提出的投针问题，记载于布丰1777年出版的著作中：

在一平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l<d）的针任意投掷到这个平面上，求此针与任一平行线相交的概率。

布丰证明了该针与任意平行线相交的概率为

基于此公式，可用概率方法得到圆周率的近似值。将投针试验重复进行多次，并记下相交的次数，从而得到p的值，即可算出π的近似值。

• 1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到π的近似值为3.1596;
• 1855年，英国史密斯投了3200次，得到的π值为3.1553。另一英国人福克斯投掷了仅1100次，却得到了精确的3.1419;
• 用这种方法得到最好结果的是意大利人拉泽里尼，在1901年投掷了3408次针，得到的圆周率近似值精确到6位小数。

比丰投针问题是第一个用几何形式表达概率问题的例子，开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河。

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