初中数学关于角的题（初一有关角问题的常见题型）

初一刚刚接触角的运算，余角补角以及角平分线的知识，同学们感到不好理解，特别是有些题型的规律还没有很好的掌握，下面通过举例一一分类说明.

一.角的单位进制在计算中的应用

1.计算下列各题.

(1)153°19'42" 26°40'28"

(2)33°15'16"×5

(3)175°16'30"一47°30‘÷6 4°12'50"×3

【分析】角度相加，把度、分、秒分别相加，满60要进位;角度的相减，把度、分、秒分别相减，不够减时，借1作60，并入原数相减;乘法运算时，先把度、分、秒乘以倍数，将结果满60"进1'，满60'进1°;除法运算，从度开始除，将余数化成分，和原有的分相加后再除，将余数化成秒，和原有的秒相加再除，若除不尽则四舍五入，精确到分时，则将不足30"舍去，30"及超过30"的进为1'，精确到度时，不足30'舍去，30‘及超过30'的进1°.

解:(1)原式=(153 26)°(19 40)'(42 28)"=179°59'70"=180°10"

(2)原式=(33×5)°(15×5)'(16×5)"=165°75'80"=166°16'20"

(3)原式=175°16'30"一(47÷6)°(30÷6)' (4×3)°(12×3)'(50×3)"=175°16'30"一7°(330÷6)' 12°36'150"=175°16'30"一7°55' 12°38'30"=(174一7 12)°(76一55 38)'(30 30)"=179°59'60"=180°.

二.利用角的倍数关系求角

2.如图，已知∠AOE=130°，∠AOB:∠BOC=2:1，且3∠COE=2∠AOB，求∠AOB的度数.

【分析】从条件看，∠BOC=1/2∠AOB，∠COE=2/3∠AOB，而∠BOC十∠COE十∠AOB=∠AOE=130°，则可列方程求解.

解:设∠AOB=x，∵∠AOB:∠BOC=2:1，则∠BOC=x/2，又3∠COE=2∠AOB，则，∠COE=2x/3，而∠COE ∠BOC ∠AOB=∠AOE=130°，则x x/2 2x/3=130°，解得x=60°，所以∠AOB的度数为60°.

3.如图，∠AOB，∠BOC，∠COD的度数之比为2:1:3，且∠AOC ∠DOB=140°，求∠AOD的度数.

【分析】条件有三个角的度数比，一般可设未知数列方程求解.

解:设，∠BOC=x，则∠AOB=2x，∠COD=3x，所以∠AOC=∠AOB ∠BOC=3x，∠DOB=∠BOC ∠COD=x 3x=4x，因为∠AOC十∠DOB=140°，所以可得，3x 4x=140°，解得x=20°，∠AOB=2x=40°，∠COD=3x=60°，则∠AOD=∠AOB ∠BOC ∠COD=40° 20° 60°=120°.所以∠AOD的度数为120°.

三.利用余角、补角的定义判断角的关系

4.如图，点A、O、E在同一条直线上，OB，OC，OD都是射线，∠1=∠2，∠1和∠4互为余角.

(1)∠2和∠3的大小有何关系？

(2)∠3与∠4的大小有何关系？

(3)说明∠AOD是∠3的补角.

【分析】判断角的大小关系，一般是倍比关系，互余关系，互补关系，从条件出发进行推导，往往能找见某种关系.

解:(1)因为∠1 ∠4=90°，而∠AOE=180°，所以∠BOD=180°一(∠1 ∠4)=180°一90°=90°，即∠2 ∠3=90°，所以∠2与∠3互余.

(2)因为∠2 ∠3=90°，∠1=∠2，所以∠1 ∠3=90°，又因为∠1十∠4=90°，所以∠3=∠4.

(3)因为∠4 ∠AOD=180°，而∠3=∠4，所以∠3十∠AOD=180°，所以∠3与∠AOD互补，也即∠AOD是∠3的补角.

5.设∠A，∠B的度数分别为2n一1°和68°一n，且∠A，∠B都是∠C的补角.

(1)求n的值

(2)∠A和∠B是互余，为什么？

解:因为∠A，∠B都是∠C的补角，所以∠A=∠B，所以2n一1°=68°一n，解n=23°

(2)∠A和∠B互余，理由如下:

由(1)知n=23°，所以∠A=2n一1°=2×23°一1=45°，∠B=68°一n=68°一23°=45°，∠A ∠B=90°，所以∠A与∠B互余.

四.角平分线间的夹角问题

6.如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线.

(1)若∠AOB=150°，则∠COE是多少度？

(2)在(1)的条件下，若∠COD=30°，则∠BOE是多少度？

【分析】这类题一般都是利用角平分线的定义，结合条件进行角的推导.

解:(1)因为OC是∠AOD的平分线，所以∠EOD=1/2∠DOB，又因为OE是∠BOD的平分线，所以∠COD=1/2∠AOD，所以∠COE=∠EOD十∠COD=1/2∠DOB 1/2∠AOD=1/2(∠DOB十∠AOD)=1/2∠AOB=1/2×150°=75°.

(2)因为∠COE=75°，∠COD=30°，所以∠DOE=∠COE一∠COD=75°一30°=45°，因为OE平分∠DOB，所以∠BOE=∠DOE=45°.

7.如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.

(1)求∠MON的度数;

(2)若∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数;

(3)若∠AOC=β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数;

(4)从上面的结果中可以看出什么规律？

【分析】由于∠AOB，∠AOC的角度已知，则∠BOC的角度可出，而OM平分∠BOC，所以∠MOC的角度可出，又ON平分∠AOC，所以∠NOC的角度可出，则∠MON=∠MOC一∠NOC，可求得结果.

解:(1)因为∠AOB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC=120°，因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=60°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.

(2)因为∠AOB=α，∠AOC=30°，所以∠BOC=α 30°，因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=α/2 15°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=α/2.

(3)因为∠AOB=90°，∠AOC=β，所以∠BOC=90° β，因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC。所以∠MOC=45° β/2，∠NOC=β/2，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.

(4)从上面的结果中，发现∠MON的大小只与∠AOB的大小有关，与∠AOC的大小无关.

五.与角平分线有关的分类讨论问题

8.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.

【分析】给出两个角，它们的OB边重合，但OC边在什么位置？不明确，所以分OC落在∠AOB内，外两种情况解答.

解:①当OC落在∠AOB内部时，如图，

∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM一∠BON=50°一30°=20°.

②当OC落在∠AOB的外部时，如图，

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM ∠BON=50° 30°=80°.综上所述，∠MON的度数为20°或80°.

9.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=20°，求∠COF的度数.

【分析】条件给出∠BOC在∠AOB的外部，但两个角的大小又不确定，可能导致不同的结果，所以分∠BOC大于∠AOB，与∠BOC小于∠AOB两种情况讨论.

解:①当∠BOC小于∠AOB时，如图

由题意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，∴∠DOE=10°，∴∠AOD=40°，又∠COD=∠AOD=40°，∠BOD=20°，∴∠BOC=20°，∴∠COF=1/2∠BOC=20°×1/2=10°.

②当∠BOC大于∠AOB时，如图，

由题意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，所以∠AOD=80°，又∠COD=∠AOD=80°，∠BOD=20°，所以∠BOC=100°，∴∠COF=1/2∠BOC=100°×1/2=50°.

综上所述，∠COF=10°或50°.

【总结】有关角的运算的题目一般不太难，但同学们要认真写好每题的步骤，为以后几何的学习打下扎实的基础.

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