两圆相切的性质（两圆相切的性质与判定之一）

两圆相切

如果两个圆恰有一个公共点，则称两圆相切。两圆相切分为内切（一个圆在另一个圆的内部）和外切（一个圆在另一个圆的外部）两种，如下图。设两圆为圆O,圆O’,半径为R,R’,则若两圆相切于点A，则：

(1) OO’=R R’(两圆外切时)，OO’=|R-R’|(两圆内切时);

(2)O,O’,A共线；

(3)过A的一个圆的切线为另一个圆的切线;

(4)若过A的直线与两圆交于B,C;B’,C’,则BC//B’C’。这是因为A为两圆位似中心，故B与B’,C与C’为相似对应点，从而AB/AB’=AC/AC’,则BC//B’C’。

相反的，上述性质逆过来

即可判定两圆相切，即

（1）若两圆圆心O,O’及半径确定，则若OO’=R R’则两圆外切，若OO’=|R-R’|，则两圆内切。

（2）若已知两圆圆心O,O’及一个公共点A，若O,O’,A共线，则两圆相切。

（3）若已知两圆的一个公共点A，过A的一个圆的切线为另一个圆的切线，则两圆相切。

（4）过A的直线与两圆交于B,C;B’,C’,若BC//B’C’则两圆相切于A。这是因为△ABC和△A’B’C’以A为位似中心位似，故他们的外接圆也以A为位似中心位似，故两圆相切于A。

不难发现上述判定中(2)和(3)是等价的。

这些性质和判定都很简单，但是要运用这些判定来判定两个圆，特别是要证明三角形的外接圆与某个圆相切，一般都是比较困难的。下面看一些与两圆相切的性质和判定有关的一些问题。这些题目看起来还是比较恐怖的，很多题目也是非常复杂的，此类问题往往都是各类竞赛的压轴题。关于这个专题的文章相对较少，我写过一篇[1]，有兴趣的读者可以参考。

1.

如图，在ΔABC中，M、N是BC边上不同的两点，使得直线AM和AN关于∠BAC内角平分线对称，

求证：△ABC,△AMN外接圆相切。（2012年高中数学联赛几何题变形）

思路分析：

依题意，∠BAM=∠CAN,若两圆相切，则A显然为公切点。两圆圆心距和半径都不太好算，圆心和切线倒是不难确定，因此可以考虑用上面的判定(2)(3)(4)。所以本题对应的就可以得到三种证明方法,都是不难说明的。

证法一：

设△ABC和△AMN外心为O,O',

依题意∠BAM=∠CAN，则

∠BAO'=∠BAM ∠MAO'

=∠CAN 90°-∠ANM

=90°-(∠ANM-∠CAN)

=90°-∠C

=∠BAO

∴A,O,O'共线，

即△ABC,△AMN外接圆相切。

证法二：

设AI为△ABC外接圆切线,

依题意∠BAM=∠CAN，则

∠IAN=∠IAC ∠CAN

=∠B ∠BAM

=∠AMC,

∴AI为△AMN外接圆切线，

即△ABC,△AMN外接圆相切。

证法三：

设AM,AN交△ABC外接圆于M',N',

依题意∠BAM=∠CAN，则

M'N'//MN,

由上述判定(4)知

△AM'N',△AMN外接圆相切,

即△ABC,△AMN外接圆相切。

注：

（1）本题结构相对简单，证明也不难。据说是2012年全国高中数学联赛二试几何题的原始形式，后来经过审题人的改编，将证明结果改成求证A,O,O’共线。当然通过上述证法一可以发现改编以后难度更简单了。此联赛题应该是近二十年来最简单的联赛几何题目了。

（2）本题中公切点即为点A，角度关系也比较明确，所以适合上述判定中的(2)(3)(4)，当然不难发现上述三种证法殊途同归，最终都是通过简单倒角完成证明。

（3）本题应该还有很多其他的证法，相对而言上述三种方法应该是自然而简单的。

（4）本题中AM、AN一般称为∠BAC的等角线，是角平分线的推广。此图形中还有很多有趣而复杂的性质，这里不再赘述。不过本题的结论也算是一个重要而有用的性质。

2.

已知：如图，两圆交于P,R两点，过P的直线l和l',其中l与两圆交于A,B,

△ABR的外接圆在A,B处的切线交于C,CR交AB于D。类似的对直线l'得到A',B',C',D',

证明：△DD'P和△CC'R的外接圆相切。

(2020年沙雷金几何奥林匹克通讯赛第8题)

思路分析：

本题图形相对比较复杂，过程也比较曲折，

基本思路是先画出准确图形，挖掘图形的基本性质，

然后从结果入手，

找到公切点，证明此点在两个圆上，

最后再证明过此点的一个圆的切线与另一个圆相切。

画出准确图形以后，

容易发现，

AC和A'C'，BC和B'C'交点M,N分别在两个圆上。

此相交两圆结构是常见图形，如果对此图形比较熟悉，

容易知道其中有很多等角，

进一步AA',BB'交点L在圆RAB,RA'B'上，

这些都不难通过倒角证明。

下面从结果入手，△DD'P和△CC'R的外接圆相切，

公切点是谁呢？此点一定有丰富的性质。

在准确的图形下面可以发现，似乎DPD'R共圆，

要证明它，需要证明CC'MRN共圆即可，

这样公切点即为R。

下面只需证明过R的一个圆的切线为另一个圆的切线，

这个也容易通过倒角完成证明。

这就得到了第一种证明，具体证明过程如下：

证明一：

设AA'交BB'于L，AC交A'C'于M,BC交B'C'于N,

则∠RBB'=∠RPB'=∠RAA',

∴ALBR共圆，同理A'RB'L共圆。

∴∠MAP=∠ALB'=∠MA'P,

∴MAA'P共圆，同理NB'BP共圆。

又∠A'MR=∠RPB'=∠C'NR,

则C'MRN共圆，同理C也在此圆上。

∴∠APA'=∠AMA'=∠C'MC=∠C'RC=∠DRD',

则DPD'R共圆。

设XY为过R的圆PDD’的切线，

则∠XRC'=∠YRD'=∠RPB'=∠RNC',

∴XR为圆RCC'的切线。

综上△DD'P和△CC'R的外接圆相切于R点。

思路分析二：

本结构中有很多的等角和相似，

可以考虑直接通过

△RAB∼△RA'B'证明DPD'R共圆，

而本结构中又有CRD,C'RD'，

所以最好利用判定(4)证明两圆相切。

这个由相似三角形对应角相等，

对应线段成比例即可得到。

证明二：

依题意∠RAB=∠RA'B',∠RBA=∠RB'A',

∴△RAB∼△∠RA'B'。

又由相切知C,D和C',D'为相似对应点，

∴∠RDB=∠RD'B',

则DPD'R共圆。

又由相似对应知RC/RD=RC'/RD',

∴CC'//DD',

由上述判定(4)知

△DD'P和△CC'R的外接圆相切于R点。

注：

(1) 这是刚结束不久的今年的沙雷金几何奥林匹克第一阶段通讯赛的第8题，通讯赛共24题，难度基本是递增的。本题算是其中的中档题目。

(2) 本题虽然构图比较复杂，结果让证明两个三角形的外接圆相切看起来也挺“可怕”。但是结构很常见，对本结构熟悉的读者不难入手。上述证法一反复利用倒角，得到多组四点共圆，最终利用前文中的判定(3)完成证明，是一种常见而自然的思路。对完全四边形比较熟悉的读者不难发现其中的点R为四条直线AB,A’B’,AA’,BB’构成的完全四边形的密克点。证法二抓住相交两圆的核心性质——旋转相似，利用相似对应一语中的、直击肯綮，利用判定(4)秒杀本题。本题刻画了相交两圆的最基本最核心的性质，两种证明方法从不同角度阐释了此结构的性质，都值得初学者揣摩学习。

(3) 因为判定(2)和(3)是等价的，所以本题应该也可以用判定(2)完成证明。以后类似问题我们尽量选择其中的判定(3)，一般不再用判定(2)再证明一遍。

本文通过两个中档难度的题目展示了如何判定两圆相切的问题，上述四种判定方法都很简单，但是运用之妙、存乎一心，还有不少相对困难的此类问题值得探究。欲知后事如何，且听下回分解。

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