人工智能预测分析学（大白话5分钟带你走进人工智能第23节-决策树系列之数学表达式）

第二十三节决策树系列之特点和数学表达形式(2)

上节我们讲解了决策树的概念，本节的话我们讲解决策树的特点以及其数学表达形式。

目录

1-决策树的特点

2-决策树的数学表达形式

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1-决策树的特点

决策树的特点大致有以下几种：

1、可以处理非线性问题。逻辑回归处理非线性问题有一些捉襟见肘，没有特别完善的方法能解决，我们有若干种妥协的方法来让它凑合能用，而决策树天生就可以处理非线性问题。假设在一个二维的平面上，有若干数据如图：

​ 每一个数据有两个维度，x1和x2。总共9个数据点。如果我们想用逻辑回归来分类，无论怎么分，都找不到一条很好地直线将图中点分开。假设我们用决策树分裂的话，第一次分裂选择条件是x＜3，相当于画一条竖线，所有x＜3的都分到左边，x＞3分到右边。

分到左边的都是O点，分到右边的有一半是O点一半是X点，给它落成一个叶子节点不太合适，就需要再次分裂，再选择分裂条件是x＜6，就将数据完美的分开了。我们的决策树的分裂图如图所示：

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原来逻辑回归处理不了的非线性问题，决策树轻而易举的就把它们分开了。

再比如下图：

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数据点如图，想把蓝色，红色的数据点分开，同样的线性不可分，而决策树却可以会画出一个波浪线，把数据分开，相当于每一个折点部分就多出分裂一个条件。所以说通过决策树不断分裂的方式，可以处理各种各样的非线性问题。

2、可解释性强。从数据集上抓到一个算法，生成出来一个模型，逻辑回归模型的本质，记在计算机里面的是一组w，训练出来这个模型是个一组数，它没有具体的物理含义。比如0.8和 0.7，怎么解释这两个w到底差别在哪？说不太清，可解释性差一些，机器到底学少什么你不知道。而决策树算法，记录下来的是一组分类条件，相比一组w来说，它的可解释性是要强不少。

3、 决策树的模型非常简单。它不需要借助函数最优化工具，在原生的决策树里面是没有损失函数这个概念的。决策树其实特别像森林球，某一条数据顺根节点、分支节点下来，最后落到某一个叶子节点上。它这个模型相对于梯度下降的训练过程中是比较简单的，预测就更简单了，直接跑一遍if…else，最后该是谁就是谁。

4、缺点 不容易显示地使用函数表达，不可微。可能带来一个问题是不好给它加正则项，正则项是用来评估模型简单程度的。原来的损失函数，给它加一个L1正则，组成了一个新的形式函数叫obj，原本是让L损失函数最小，现在要变成让它们俩合obj最小。为什么加上它效果就能好？在算法模型里边是通过这L1和L2两个指标来评估模型到底是简单还是复杂的。如果有更简单的方式能得到更好的模型，当然要优先简单的，因为复杂模型容易过拟合，这也就是正则存在的意义。但是决策树很难加这种正则表达式。

2-决策树的数学表达形式

决策树虽然不容易显示地使用函数表达，非得要表达的话，我们有两种方式表达。

第一种是从路径的角度（Path View），将每个从根到叶子的路径作为一个假设 g，通过不同的条件组合得到最后的 G (X)。

第二种是从递归的角度（Recursive View），父树是由子树递归定义的 tree=(root,sub-trees)。

1、我们先说第一种从路径的角度：表达如下：

上面G(x)是一个函数，对于函数我们永远就把它理解成一个机器，你给我一个原材料，我给你生产一个东西。所以这里面的G(x)也不例外，对于决策树来说一般是做分类的，所以我们可以想到这个函数G(x)其实就代表着你给我一个X，我给你一个分类结果。所以G代表着这棵已经生成好的决策树，X代表着扔进去的一个原数据。而函数后面的表达式代表我这个机器如何工作的，如何从已知得到结果的，是表达式记录的信息。我们看到后面是个连加符号，给它拆解出来就是

这是什么意思呢？比如下图的决策树，我把叶子节点编号如图：

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这里面q代表所有决策树的路径，比如我们的X是qutitingtime<17:00 并且没有约会，那么在上述决策树存在的情况下，这个数据会落到2号节点，能够通往几号节点的路径就叫几号路径，所以X扔进来的情况下，会通往2号路径，所以我们定义此时的X只有q(2)x=1，其他路径都为0，即q(1)x=0,q(3)x=0...。所以我们qt是定义出来的，代表着x是不是在第t号路径上，is x on path t。gt(x)代表某一号叶子节点的表达，比如这里的X，落在2号节点上，所以表达为Y，也就是说以后甭管X是什么样，只要落在2号节点上，就写成Y，因此qt(x).gt(x)就是代表来一条数据，先是通过qt(x)看看落在哪个叶子节点上，然后再通过gt(x)看看这个叶子结点的表达是什么，我们就返回什么（Y 或者N），简直就是一个很无聊的表达，并且表达的很简单。

上面公式表达的前提就是树已经存在了，它的判别函数怎么表达。所以还是针对上述落在2号节点的X，我们针对上面的决策树把连加符号拆解出来就是:

因为只有2号节点的q2(x)=1，其他都为0。这里面的点乘代表着对应关系，并不是真正的乘。T代表第几号叶子结点即叶子节点的序号。gt(x)是一个base hyponthesis 基础的假设，这里就是假设我所有的叶子结点的表达的形式是Y还是N，是一个常数。因为这里面gt(x)的值只有Y或者N。不是取决于X的输入，而是取决于我当前落在第几号节点，g(1)(x)就是N，g(2)X就是Y。所以总结如下：

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2、第二种表达决策树的方式：递归的角度（Recursive View）

我们通过下面举例解释下上面公式：

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实际上上面是个递归的表达形式。比如对于根节点(qutting time )来说，有3个子节点，如图所示。对于1号子节点的根(has a date)来说有两个子节点 N或者Y。还是拿上面X是qutitingtime<17:00 并且没有约会的例子来说，从根节点下来会落到1号子节点，这里面的b(x)是分支的条件，这个例子中b(x)=1 ，C代表几个子节点，而对于qutting time的根节点来说，有3个子节点，所以C=3。落在几号节点上，只有当前子节点为1，其他都为0，所以对于这里只有G1(x)=1。当落到1号节点之后，继续往下走，同理接着遍历，会落到1号子节点中的Y子节点上，同理对于 has a date 作为根节点来说，C=2，因为落在Y子节点上，此时是叶子结点，不在遍历，所以向上依次返回最终结果Y。

总结如下：

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下一节我们讲解决策树的分裂流程以及分裂条件的评估。

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