高中数学立体几何初步题(高中数学小题专练)

肖博数学小题专练(十) 立体几何,今天小编就来说说关于高中数学立体几何初步题?下面更多详细答案一起来看看吧!

高中数学立体几何初步题(高中数学小题专练)

高中数学立体几何初步题

肖博数学小题专练(十) 立体几何

一、选择题

1.如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直

观图是( )

答案 D

解析 先观察俯视图,由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确,

由正视图和侧视图可知选项 D 正确,故选 D。

2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不

可能为( )

A.长方形 B.直角三角形

C.圆 D.椭圆

答案 C

解析 当俯视图为圆时,由三视图可知为圆柱,此时正视图和侧

2

视图应该相同,所以俯视图不可能是圆,故选 C。

3.已知点 E,F,G 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 AA1,

CC1,DD1的中点,点 M,N,Q,P 分别在线段 DF,AG,BE,C1B1

上。以 M,N,Q,P 为顶点的三棱锥 P-MNQ 的俯视图不可能是( )

答案 C

解析 当 M 与 F 重合、N 与 G 重合、Q 与 E 重合、P 与 B1重合

时,三棱锥 P-MNQ 的俯视图为 A;当 M、N、Q、P 是所在线段的

中点时,三棱锥 P-MNQ 的俯视图为 B;当 M、N、Q、P 位于所在

线段的非端点位置时,存在三棱锥 P-MNQ,使其俯视图为 D。故选

C。

4.(2017·河南新乡二模)已知一个几何体的三视图如图所示,则

该几何体的体积为( )

3

A.

32

3

B.

16

3

C.

8

3

D.

4

3

答案 C

解析 该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成,直观图如

图所示,V=V 柱 V 锥=

1

2×(1 1)×1×2

1

1

2×(1 1)×1×2=

8

3,

故选 C。

5.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在

直径为 2 的同一个球的表面上,则该圆柱的体积为( )

A.π B.

4

C.

π

2

D.

π

4

答案 B

4

解析 设圆柱底面半径为 r,由题知圆柱的高 h=1,圆柱外接球

的半径 R=1,则 r

2=R

2-

h

2

2=1

2-

1

2

2=

3

4,所以圆柱的体积 V=πr

2h

=

4 ,故选 B。

6.若正三棱锥 A-BCD 中,AB⊥AC,且 BC=1,则三棱锥 A

-BCD 的高为( )

A.

6

6

B.

3

3

C.

2

2

D.

6

3

答案 A

解析 设三棱锥 A-BCD 的高为 h,依题意得 AB,AC,AD 两

两垂直,且 AB=AC=AD=

2

2

BC=

2

2 ,△BCD 的面积为 3

4 ×1

2=

3

4 。

由 VA-BCD=VB-ACD得

1

3

S△BCD·h=

1

3

S△ACD·AB,即1

3

4 ×h=

1

1

2×

2

2

2

2 ,解得 h=

6

6 ,即三棱锥 A-BCD 的高 h=

6

6 ,故选 A。

7.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,

那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( )

A.α⊥β 且 m⊥α B.α⊥β 且 m∥α

C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 n∥β

答案 C

解析 依题意,对于 A,注意到直线 m 可能平行或位于平面 β

内,因此选项 A 不正确;对于 B,注意到直线 m 可能平行或位于平

面 β 内且与它们的交线平行,因此选项 B 不正确;对于 C,由定理“若

两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”

5

得知,C 正确;对于 D,注意到直线 m 可能平行或位于平面 β 内,因

此选项 D 不正确。综上所述,故选 C。

8.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于

⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点。现有结论:①

BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC

的长。其中正确的是( )

A.①② B.①②③

C.① D.②③

答案 B

解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC。∵AB 为⊙O 的直径,

∴BC⊥AC,又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC,又 PC⊂平面 PAC,

∴BC⊥PC。对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA,∵PA⊂平

面 PAC,OM⊄平面 PAC,∴OM∥平面 PAC。对于③,由①知 BC⊥平

面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正

确。

9.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,给

出四个命题:

①若 α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则 α⊥β;

②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;

③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β;

④若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β。

6

其中正确的命题是( )

A.①② B.②③

C.①④ D.②④

答案 B

解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个

平面的交线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,

②正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的

二面角为直二面角,故③正确;当两个平面相交时,分别与两个平面

平行的直线也平行,故④不正确。

10.(2017·广州综合测试(一))如图,网格纸上小正方形的边长为

1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且

该几何体的体积为8

3,则该几何体的俯视图可以是( )

答案 D

7

解析 由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为 2,

其底面为正方形,面积为 2×2=4,因为该几何体的体积为1

3×4×2

=

8

3,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形。故选 D。

11.(2017·安徽皖北协作区 3 月联考)如图,网格纸上小正方形的

边长为 1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何

体外接球的表面积为( )

A.24π B.29π

C.48π D.58π

答案 B

8

解析 如图,在 3×2×4 的长方体中构造符合题意的几何体(三

棱锥 A-BCD),其外接球即为长方体的外接球,表面积为 4πR

2=π(32

2

2 4

2

)=29π。

12.(2017·洛阳第一次统考)四面体 A-BCD 中,∠ABC=∠ABD

=∠CBD=60°,AB=3,CB=DB=2,则此四面体外接球的表面积

为( )

A.

19

2

π B.

19 38π

24

C.17π D.

17 17π

6

答案 A

解析 依题意,在△ABC 中,AC=

AB2 BC2-2AB·BC·cos ∠ABC = 7 。 在 △ ABD 中 , AD =

AB2 BD2-2AB·BD·cos ∠ABD= 7=AC。在△BCD 中,BC=DB

=2,∠CBD=60°,因此△BCD 是正三角形,CD=2。

9

如图所示 ,记三棱锥 A-BCD 的外接球球心为 O,半径为 R,

取 CD 的中点 M,连接 AM,BM,OA,OB,则有 AM⊥CD,BM⊥

CD,AM= 7-1= 6,BM=

3

2 ×2= 3,AM2 BM2=9=AB2,AM

⊥BM,AM⊥平面 BCD,球心 O 在平面 BCD 上的射影是正△BCD 的

中心 O1,连接 OO1,则 AM∥OO1,O1M=

1

3

BM=

3

3 ,O1B=

2

3

BM=

2 3

3 。

在直角梯形 AMO1O 中,OO1= BO2-BO2

1= R

2-

4

3,AM= 6,

AO2=O1M2 (AM-OO1)

2,即 R

2=

1

3 

6- R

2-

4

3

2,解得 4R

2=

57

6

=

19

2 ,因此三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积等于 4πR

2=

19π

2 ,故选

A。

二、填空题

13.(2017·江苏高考)如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与

10

圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O 的

体积为 V2,则V1

V2

的值是________。

答案 3

2

解析 设球 O 的半径为 r,则圆柱的底面圆半径为 r,高为 2r,

V1

V2

=

πr

2·2r

4

3

πr

3

=

3

2。

14.(2017·武汉高三调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载

了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图

如图所示(单位:寸),若 π 取 3,其体积为 12.6(单位:立方寸),则图

中的 x 为________。

答案 1.6

解析 该几何体是一个组合体,左边是一个底面半径为1

2的圆柱,

右边是一个长、宽、高分别为 5.4-x,3,1 的长方体,∴组合体的体积 V

=V 圆柱 V 长方体=π·

1

2

2×x (5.4-x)×3×1=12.6(其中 π=3),解得

x=1.6。

15.(2017·广西三市第一次联考)已知长方体 ABCD-A1B1C1 D1

内接于球 O,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,E 为 AA1的中点,OA

11

⊥平面 BDE,则球 O 的表面积为________。

答案 16π

解析 取 BD 的中点为 O1,连接 OO1,OE,O1E,O1A,则四边

形 OO1AE 为矩形,∵OA⊥平面 BDE,∴OA⊥EO1,即四边形 OO1AE

为正方形,则球 O 的半径 R=OA=2,∴球 O 的表面积 S=4π×2

2=

16π。

16.(2017·武汉高三调研)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,

即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,给出下列结论:

①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直;

②四面体 ABCD 每个面的面积相等;

③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°

而小于 180°;

④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分;

⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角

形的三边长。

其中正确结论的序号是________。(写出所有正确结论的序号)

答案 ②④⑤

解析 将四面体 ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角

线,由于三组对棱分别相等,所以平行六面体为长方体。(该长方体

不一定为正方体)。故正确的有②④⑤。

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