圆锥曲线垂径的定理（从圆到圆锥曲线）

前些天做了皖南八校联考题，感觉是真的有点难度的，

因为学生确实做得不太理想，几天前就想写几个题了。却是因为时间的原因，断断续续的，到今天才完成了下面这题。

这题很多孩子都要求讲一讲，可是，这题真的有难度么？

说难，确实还是有点。但要说容易么，也确实是不过分的。

因为，熟悉圆锥曲线二级结论的人都会知道，这就是考查圆锥曲线垂径定理的了。

可惜的是，很多的娃并不清楚。

那么，什么是垂径定理呢？今天就准备详细地说一说它。

01相关知识点解析

1、圆周角定理

说到垂径定理，最先想到的肯定是圆了吧？

就算不知垂径定理是什么东西，但同学也一定是熟悉它的。

其实，在垂径定理之前，应该还有一个也是我们熟悉的，圆周角定理：

圆的直径所对的圆周角是直角。

对于学数学的人来说，

这个应该算是妇孺皆知的结论了吧。

虽然是初中的内容，

但是在高中也是经常会用到的。

2、圆的垂径定理

那么垂径定理，到底是什么？

其实我们应该更加熟悉才对的。

垂直于弦的直径

平分弦

且平分弦所对的两条弧

是不是很熟悉？

是不是还经常用到它！

当然，

为严谨起见，

我还是要象征性地做个说明，

从两个方面：

证明一：无字证明

证明二：理论证明

这个圆的垂径定理，

在高中阶段，

尤其是在《直线与圆》这一章节，

也是常用的一个结论了。

但其实，

从高中的角度来看，

无论是圆的圆周角定理，

还是这个垂径定理，

其本质都是一样的。

因为它们，

可以相互导出、互为因果。

3、椭圆的圆周角定理

都知道椭圆与圆的关系。

椭圆只是一个圆被压扁了一点而已。

那么，

在圆被压扁的过程中，

直径所对的直角将如何变化，

垂径定理又将何去何从呢？

看了这个动图，

是不是感觉很惊讶？

随着圆的被压扁，

PA与PB之间的垂直关系会发生变化，

这一定是情理之中的。

但它们斜率之积却依然是定值，

仅仅只是由原来的-1,

变成了另一个定值而已。

这个结果，

就非常的出乎意料，

但确实还是让人欣喜。

也许，

这正说明了，

圆应该就是一个特殊的椭圆吧。

这也让我想起了，

很久以前写过的一篇推文：

链接：椭圆与圆：本同源，应相伴。

对于这个结果，

还可以概括成下面一般性的结论：

这个就算是椭圆的圆周角定理了，

根据圆与椭圆之间的关系，

圆的直径在椭圆这里，

便挖成了中心弦。

中心弦所对角的两边的斜率

乘积为定值

当然，

这么好的结论，

应该还是要从理论上证明的，

最少，

是应该找出这个定值的吧。

显然，

无论是从数量关系，

还是从动图观察，

结论都是没有问题的。

有人也把这个结论，

称为椭圆的第三定义：

已知A，B是平面内两个定点，点P是平面内一动点，若PA与PB的斜率之积为定值（负值且不等于-1），则动点P的轨迹为椭圆。

4、椭圆的垂径定理

有了圆周角的经验，

同样的，

类似于圆的垂径定理，

椭圆的垂径定理猜想可以描述成这样：

先不说结论，

先说下上面的证明，

这不是用的点差法么？

原来，

一直最喜欢的点差法，

最后的结局，

竟然就是垂径定理！

那是不是预示着，

以后凡是想到点差法时，

是可以直接考虑用它的结果，

就是现在的垂径定理了呢？

当然，

也是到了现在才确信，

原来初中的圆周角定理和垂径定理，

到了高中依然关系亲密，

而且更显强大。

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切线也是圆的一个重要特征，

其实我们还可以从切线性质出发，

得到椭圆的另一个很好的结论。

大家都知晓的，

圆的切线，

总是与圆心与切点连线互相垂直的，

从数量关系上说，

就是它们的斜率之积为-1。

动图告诉我们，

椭圆也有着类似的性质，

只是斜率之积变成了

其实，

如果你愿意，

还可以更进一步，

这个最好的定值，

原来是可以写成这样的：

就问这样的结论，

于你来说，

惊不惊喜意不意外！

如果还能深入点，

考虑焦点在y轴上的话，

同样可以得到定值：

哦，

原来也只是交换了下a,b而已！

定值变成倒数了。

5、双曲线的圆周角定理

椭圆与圆，

最大的相似性在于形状特征。

而双曲线与椭圆，

最大的相似性肯定是方程的结构了。

因此，

还是用类比的手法，

根据双曲线与椭圆方程的相似性，

可以类比得出圆周角定理。

原来，

不仅结论的形式很相似，

而且和椭圆中的定值相比，

也仅只是少了一个符号而已。

确实，

这组结论真的是很奇妙的。

但记起来，

因为结论太相似了，

会不会有点混淆的感觉呢？

所以，

还是看看它离心率的表达吧。

竟然是和椭圆一样一样的！

这样记起来，

相信就会方便很多。

6、双曲线的垂径定理

既然有相似的圆周角定理，

那一定就会有相似的垂径定理了，

真的是好，

连证明过程都是一样的。

那双曲线的切线，

会不会也有椭圆相似的结论呢？

原来是真的，

双曲线上任意一点处的切线斜率，

和切点与原点连线的斜率，

乘积依然是定值，

定值依然是：

如果表达成离心率的形式，

和椭圆的表述竟然也是一样的，

都是：

同样的，

如果焦点在y轴上，

定值也应该是它的倒数了：

这样，

椭圆和双曲线，

就达到了完美统一了。

真好！

02 典型例题展示

相信现在大家对圆锥曲线的圆周角定理和垂径定理，应该会有一个更直观的理解和感受吧。

至于要不要掌握这个定理？我想答案应该是肯定的。

因为，教材中不是有个关于第三定义的例题么？（P41，例3）

既然这样，那还等什么呢，老实的再理解再记忆吧。

END

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