高等数学中的函数有界性（高等数学1）

对于函数的概念，我们每个人都可以在书上找到所以在本文中重复一遍概念没有任何意义，我们需要了解的是如何更为简单通俗的理解函数的本质，今天小编就来说说关于高等数学中的函数有界性?下面更多详细答案一起来看看吧!

高等数学中的函数有界性

对于函数的概念，我们每个人都可以在书上找到。所以在本文中重复一遍概念没有任何意义，我们需要了解的是如何更为简单通俗的理解函数的本质。

函数的关键无非在于一个一一映射的关系，所谓一一映射就是对应关系。说的直白一点，就是给你一个自变量就会有唯一的因变量与之对应。

这里有许多点需要注意。首先上面我说的都是自变量和因变量，并没有提到x和y。

因为没有人规定必须x是自变量，y必须是因变量。只要它们两个满足上面的一一对应关系，y是自变量，x是因变量也完全是正确的。我们有很多人会陷入到一个固定的思维当中，把遇到的每一个函数中的x都当成是自变量。这样肯定是会出现比较严重的问题的，没有出现问题只是因为碰巧而已。

其次，我们需要注意的是函数必须满足对应关系。换句话说，任意一个处于定义域内的自变量，都必须是有因变量与之对应的。当然这个大家其实都可以注意到，所以这个不是问题的重点。

接下来第3点需要注意的才是问题的重点。我们许多人往往会忽视的就是“唯一”这两个字。如果现在有一个自变量，居然会有两个因变量通过公式产生，那么请问这样一个对应关系是函数关系吗？

答案当然是否定的，虽然必须要有因变量与之对应，但是只能有一个。有的时候我们会碰到这样的情况，前提已经是函数关系了，但是一个x就是对应于两个y，这个应该怎么样进行解答呢？

其实之所以会出现这样的问题，还是因为对于函数的概念理解不清晰。 很明显在这种问题中x才是因变量，y是自变量。所以只要转换一个思路，不局限于固定的思维当中，问题也就迎刃而解了。

不仅仅是上面提到的情况，在许多问题中其实都可以进行这样一个尝试。把自变量与因变量的对应符号一换，可能瞬间就可以把整道题目降低难度。

在理解了上述的定义以后，实际上对函数本质的理解就差不多了。接下来无非就是一些概念问题。

比如自变量，因变量，定义域，值域，有界性，单调性，奇偶性和周期性等。对这些概念的具体内容没有必要详细阐述，大家都可以在书上找到。

但是这里需要注意的是函数有界，等价于函数既有上界又有下界。如果函数仅仅只有上界，那么是不可以说这个函数是一个有界函数的。

其次，函数有界性中的界是一个非常模糊的概念。比如有现在有一个函数y=sinx，我们既可以说它的界为1，因为它的绝对值小于等于1。前者当然是完全正确的，但是如果我说它的界是2呢，也没有错误。所以我们需要把函数的有界性，和它的最大值最小值概念区分出来。

接下来可以举一个例子，更好得区分最大值最小值和有界性。假如现在有一个有界函数，请问它是否存在最大值和最小值？

答案是否定的，或者说不一定。比如现在有这样一个函数y=x，但是定义域为(0，1)，这是一个开区间很明显这是一个有界函数，但是它没有最大值最小值，因为取不到它的最大值最小值。

大家已经发现了函数的有界性，是和区间联系在一起的。所以通过区间的变化可以玩出很多花样。当然一个函数有最大值最小值，则一定是有界的，这个请注意一下。

其次，我们需要注意的是函数的单调性。单调性是一个局部的性质，换句话说，这个函数可以先往上跑，再往下跑，再往上跑，再往下跑……跑出一个折线的形状，把你弄晕。所以我们在判断函数单调性的时候，往往要分区间进行判断。有很多人直接就在一整个区间上，对它的单调性进行判断，这个肯定是搞不出来的。

当然对其单调性进行判断的时候也是有技巧的，这边建议先取几个点，把函数大致的结构画出来。

其次单调性是非常严格的，请关注单调性的定义，你会发现它没有等于号。如果说当x1<x2时，f(x1)≤f(x2)，这个时候只能说它是单调不减，不能说它是单调递增的。

除此以外，函数的奇偶性和周期性也有许多需要注意的点。特别是在学习了极限和导数的概念以后，可以玩的花样就更多了。本文暂时先介绍到这里。