图形表征的方式（多元表征解决问题）

宋秀云(江苏省新海高级中学)

摘要：多元表征可以使数学学习对象多角度具体化，加深我们对同一数学对象的认识。在问题解决中应恰当地对问题进行多角度表征，并且善于在各种表征之间进行转换。这不仅使数学问题解决变得更加容易，并且在解法的多样化中能加深学生对概念的理解。对于如何提高学生运用多元表征解决问题的能力，给出若干建议。

关键词：多元表征；图形表征；符号表征；问题解决；数量积

一、问题提出

一般地，表征是指信息在心理活动中的表现和记载的方式。因此，表征一方面反映客观事物，代表客观事物；另一方面，又是心理活动进一步加工的对象。表征的方式不同，大脑对它的加工过程也不相同。在数学领域，多元表征一般是指数学学习对象的多种表征形式。希尔伯特指出，数学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系。数学最为迷人之处是不同分支之间的许多相互影响，预想不到的联系，有时会奇迹般展现在你面前。从不同的角度对同一数学对象进行多元表征，可以使数学学习对象多角度地具体化，加深我们对同一数学对象的认识。

多元表征不仅适用于数学概念的学习，而且普遍存在于数学问题解决中。一般而言，数学问题解决包括三个要素：问题条件、解题思想方法、策略与结论扩展。从多元表征的视角来说，这三个要素都可以多元表征化。例如，单墫指出，算两次在数学解题中是非常常见的手法。“算两次”即用两种方法计算同一个量，或换一个角度看问题，其实质是将同一个量从两个不同的角度计算两次，利用殊途同归的等量关系达到问题解决的目的。例如，立体几何中求距离常用等积法、解析几何中求动点轨迹用交轨法等，都属于解题方法的多元表征体现。

总之，观察问题的视角不同、解题的思想方法不同、解题策略的转换与转译以及问题本身呈现的形式不同等，这些都说明了数学问题解决学习中的多元表征无处不在。下面以一道高考题的多角度解决为例，说明多元表征这种认知学习方法对数学解题教学的意义。

三、教学建议

数学问题解决的第一步就是对问题进行表征，表征方式的恰当与否直接决定了问题能否解决。一个恰当的问题表征一般应该满足三个条件：（1）表征与问题的真实结构相对应；（2）表征中的各个问题成分被恰当的结合在一起；（3）表征结合了问题解决者的其他知识。因此，选择与转换不同的表征方式是提高问题解决成功率的关键策略。文[3]的调查表明，高中学生解题障碍的一个重要原因就是对问题不能做出适宜的表征，不能在多种表征之间进行转换。对于如何提高学生运用多元表征进行问题解决的能力，笔者认为以下几点值得重视。

1.重视样例教学

哲学家库恩指出，学生正是通过学习范例，通过做习题等活动来掌握一门科学知识及其方法的，没有范例，科学知识不能清楚地表达出来，也无法为人们掌握；没有范例，人们就无法从按照该门科学的要求去解决任何问题，数学当然也不例外。笛卡尔也指出，我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，以用于其他的问题。由于问题表征是一种程序性知识，很难言传，必须借助典型样例使其显性化，所以教师应该精心设计样例，让学生从样例中学习，掌握很多具体的实例，才能真正地理解抽象的内容，才能真正地感知数学，再经过不断反复练习，使其系统化、自动化，解题时才能轻松自如。当然这里所说的样例、练习也不能无限扩大为“题型 技巧”的题海模式。

2.训练学生借助外在表征的习惯

数学问题的外在表征分为文字表征、符号表征、图形表征等。从本案例可以看出，在多种表征之间进行有效转换对解题是极为关键的。要培养学生借助外部表征进行问题表征的习惯，首先要让学生认识到问题表征在解题中的重要性，强调审题的决定性，拿到问题不要急于去制定计划，应反复审明题意，进而恰当表征问题。

其次，在知识的讲授过程中，要注意概念的发生、发展过程，尽可能用不同方式对知识进行表征。例如，函数的单调性就应从图形表征（函数图象）、文字表征（语言）、符号表征（数学符号）这三个维度来进行刻画，使学生对概念的认识变得立体，进而在解决较复杂问题时能进行各种表征之间的有效转化，找到解题突破口。

3.提高学生的元认知技能

元认知技能就是个体对自身的认知过程进行监督、调节和协调的能力。具有较好元认知技能的学习者，能自动地控制和掌握自己的认知过程，他们在面临新的问题时，能主动寻求当前问题与已有经验之间的联系，并运用已有经验对当前问题进行分析概括，寻求表征问题的策略，这方面可以采取的有效方法是利用波利亚解题表中的提示语（如表1），帮助学生对数学问题进行表征。

表1：

参考文献

[1]徐章韬。多元表征学习视角下的线性回归方程的多角度推导[J].中学数学研究,2011(11):1-3。

[2]孙卫。基于多元表征理论的解题反思能力培养[J].上海中学数学，2013(1/2):8-9。

[3]王坤。培养高中生数学问题表征能力的教学探索[D].南京：南京师范大学，2004。

[4]唐剑岚。数学多元表征学习的认知模型及教学研究[D].南京：南京师范大学，200８。