怎么求一般三角形的内切圆（三角形的内切圆）

如下图所示，O为△ABC的内心，即△三内角平分线的交点，

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S△ABC=S△AOB S△BOC S△AOC=1/2（a b c）r;

当△ABC为直角三角形时，可得：2ab=（a b-c）r；

则r=2ab/（a b-c）

或者，也可以这样表示：

c=（a-r） （b-r），得r=（a b-c）/2；

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【大显身手】

已知OA=3，OB=4，AM、OM分别为△AOB的角平分线，AB=5，求点M的坐标。

三角形的旁切圆的半径

三角形有3个旁切圆，则要分三种情况来谈论三角形旁切圆的半径。

第1种情况：

如下图所示，通过面积的等差法处理，可以得到：

S△ABC=S△ABO S△ACO-S△BOC

=1/2cr 1/2br—1/2ar=1/2r（b c-a）；

则 r=2S△ABC/（b c-a）；

第2种情况：

如下图所示，通过面积的等差法处理，可以得到：

S△ABC=S△OBC S△OAC-S△OAB

=1/2ar 1/2br—1/2cr=1/2r（b a-c）；

则 r=2S△ABC/（b a-c）；

第3种情况：

如下图所示，通过面积的等差法处理，可以得到：

S△ABC=S△ABO S△BCO-S△OAC

=1/2cr 1/2ar—1/2br=1/2r（c a-b）；

则 r=2S△ABC/（c a-b）；

【温馨提示】以上推理过程只是为了告诉大家，当△ABC为RT三角形的时候，是可以通过面积法直接计算旁切圆的半径的。

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【基础知识拓展】已知△ABC三边分别为a，b，c，

（1）设BD=x，AC=b=（c-x） （a-x），得x=(a c-b)/2；

（2）设AD=y，BC=a=（c-y） （b-y），得y=(b c-a)/2；

（3）设CE=z，AB=c=（a-z） （b-z），得z=(a b-c)/2；

（4）如下图所示，当△ABC为RT△，则r=（a c-b）/2；

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【练练基础】

在△ABC中，CD⊥AB，O1、O2分别为△ACD和△BCD的内心，AD=6，CD=8，BD=15，则O1O2=？

【涛哥图解】

利用基本图，很快可以求出R1=2，R2=3；

接下来，求O1O2的长度，处理方法很多，介绍2种。

方法1：构建RT△O1O2G，图中标注的很清晰，看图就明白了。

方法2：利用内心等同于三角形内角平分线的交点，O1D平分∠ADC，O2D平分∠CDB，则∠O1DO2=90°，O1D=√2R1=2√2，同理，O2D=3√2，利用勾股定理求O1O2即可。

方法3：解析几何 建立坐标系

根据公式，可以求得O1和O2坐标，再利用坐标系内任意两点之间的距离公式即可求得O1O2的长度。

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附上一道课后习题改编的经典题：

如图，边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的正△DEF，且a—b=2，求△AEF的内切圆的半径。

第1步：如下图所示，可通过全等证得一些线段相等。

关键一步转化：a=AE AF，则a—b=AE AF—EF；

此时，结合三角形内切圆的相关计算，可得2AG=AE AF—EF=2，

得AG=1，

此时，解一下RT△AGO即可得△AEF的内切圆的半径了！

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