怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)

如下图所示,O为△ABC的内心,即△三内角平分线的交点,

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怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(1)

S△ABC=S△AOB S△BOC S△AOC=1/2(a b c)r;

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(2)

当△ABC为直角三角形时,可得:2ab=(a b-c)r;

则r=2ab/(a b-c)

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(3)

或者,也可以这样表示:

c=(a-r) (b-r),得r=(a b-c)/2;

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(4)



【大显身手】

已知OA=3,OB=4,AM、OM分别为△AOB的角平分线,AB=5,求点M的坐标。

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(5)

三角形的旁切圆的半径

三角形有3个旁切圆,则要分三种情况来谈论三角形旁切圆的半径。

第1种情况:

如下图所示,通过面积的等差法处理,可以得到:

S△ABC=S△ABO S△ACO-S△BOC

=1/2cr 1/2br—1/2ar=1/2r(b c-a);

则 r=2S△ABC/(b c-a);

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(6)

第2种情况:

如下图所示,通过面积的等差法处理,可以得到:

S△ABC=S△OBC S△OAC-S△OAB

=1/2ar 1/2br—1/2cr=1/2r(b a-c);

则 r=2S△ABC/(b a-c);

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(7)

第3种情况:

如下图所示,通过面积的等差法处理,可以得到:

S△ABC=S△ABO S△BCO-S△OAC

=1/2cr 1/2ar—1/2br=1/2r(c a-b);

则 r=2S△ABC/(c a-b);

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(8)

【温馨提示】以上推理过程只是为了告诉大家,当△ABC为RT三角形的时候,是可以通过面积法直接计算旁切圆的半径的。


【基础知识拓展】已知△ABC三边分别为a,b,c,

(1)设BD=x,AC=b=(c-x) (a-x),得x=(a c-b)/2;

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(9)

(2)设AD=y,BC=a=(c-y) (b-y),得y=(b c-a)/2;

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(10)

(3)设CE=z,AB=c=(a-z) (b-z),得z=(a b-c)/2;

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(11)

(4)如下图所示,当△ABC为RT△,则r=(a c-b)/2;

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(12)


【练练基础】

在△ABC中,CD⊥AB,O1、O2分别为△ACD和△BCD的内心,AD=6,CD=8,BD=15,则O1O2=?

【涛哥图解】

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(13)

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(14)

利用基本图,很快可以求出R1=2,R2=3;

接下来,求O1O2的长度,处理方法很多,介绍2种。

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(15)

方法1:构建RT△O1O2G,图中标注的很清晰,看图就明白了。

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(16)

方法2:利用内心等同于三角形内角平分线的交点,O1D平分∠ADC,O2D平分∠CDB,则∠O1DO2=90°,O1D=√2R1=2√2,同理,O2D=3√2,利用勾股定理求O1O2即可。

方法3:解析几何 建立坐标系

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(17)

根据公式,可以求得O1和O2坐标,再利用坐标系内任意两点之间的距离公式即可求得O1O2的长度。


附上一道课后习题改编的经典题:

如图,边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的正△DEF,且a—b=2,求△AEF的内切圆的半径。

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(18)

第1步:如下图所示,可通过全等证得一些线段相等。

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(19)

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(20)

关键一步转化:a=AE AF,则a—b=AE AF—EF;

此时,结合三角形内切圆的相关计算,可得2AG=AE AF—EF=2,

得AG=1,

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(21)

此时,解一下RT△AGO即可得△AEF的内切圆的半径了!

怎么求一般三角形的内切圆(三角形的内切圆)(22)

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