初中数学圆的切线的证明（初中数学九年级上册圆问题）

以等边三角形ABC的BC边为直径作圆，交AC于点D，DE⊥AB于点E，连接OE，且AE=1（如图）

（1）求证：DE是⊙O的切线。

（2）求线段OE的长度。

【思考】

i）首先来回顾一下切线相关的知识点：

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

根据这两条定理，我们就可以得到证明圆的切线的一般思路：

方法1、连半径，证垂直

方法2、作垂线，证半径

由于点D是圆上一点，我们可以连接OD，证明OD⊥DE即可。

ii）如何证明OD⊥DE？如果OD⊥DE，根据图中DE⊥AB，可得OD∥AB.

iii)如何证明OD∥AB？如果OD∥AB，由于OB=OC,可知OD为△ABC的中位线（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线）只要求出点D 是AC中点即可。在等边△ABC中考虑三线合一，BD是中线、垂线、角平分线。易证垂直。BC是圆的直径，对应的圆周角是直角。反推可证DE是切线。（也可利用同位角相等证明平行，△OCD也是等边三角形）

iv）求OE的长度，根据第一问可以知道在Rt△ODE中，可以利用勾股定理求得斜边长。在Rt△ADE中，AE=1，∠ADE=30°，30°角对应的直角边等于斜边的一半。可以求出AD=2，DE=√3，OD=OC=AD=2

求得OE

【过程】

（1）证：连接OD，BD。

∵BC是⊙O直径。

∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角）

∴在等边△ABC中AD=DC（等腰三角形中三线合一）

又∵OB=OC（均为半径）

∴OD是△ABC的中位线（点O、D分别为BC、AC的中点）

∴OD∥AB（三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半）

∵DE⊥AB

∴DE⊥OD（垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条直线）

∴DE是⊙O的切线。（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）

（2）在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=1

∴AD=2,DE=√3（30°的角对应的直角边等于斜边一半及勾股定理）

在△OCD中，

∠C=60°，OC=OD=DC=DA

∴OD=2

在Rt△ODE中

∴OE=√（OD^2 DE^2)=√7

【反思】

对于证明题，有时候我们无从下手，可以根据证明结果反推求得。前提是记住各种性质定理，能够熟练运用。希望同学们多多练习，熟练运用。

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