数列极限公式大全（数列的极限）

数列的极限

对于无穷数列，我们在高中已经学过很多很多，其中有一些数列有特点，我们看范例。

我们可以观察发现，

会越来越小，最后无限趋近于0

一个正一个负，但最后也会无限趋近于0

会越来越大，虽然不容易看出来，但它们最后也会趋近于一个常数2

而相应的另两个数列

显然最后不会趋近于一个常数，前者在两个数之间跳，后者趋近于无穷。

然后，数学家上场了，他们说，我们下定义吧。

如果数列趋近于一个常数，则称这个数列是收敛的，否则就称这个数列是发散的。并且用符号

上例中，我们就可以这样写

似乎很清楚了哦。但是这样直接显得数学家都很低端，于是他们开发出了一套语言，专门用于描述极限，不过，那真的只是数学家玩的，咱们不理他就好了。

什么？什么？你想看看数学家的这个描述？那好吧，我表演给你看，看得懂看，看不懂拉倒。

我个人感觉是，乱七八糟说得什么啊。明明很简单明白的事，说得辣么复杂！

当然，像本文所举的数列，极限很容易看出来，有些数列的极限就不太容易看出来，需要稍微计算一下。例如

就不这么容易看出来。这就需要一些运算和简单结论，以下结论显然得不能再显然了。

有了这些简单显然的结论，稍微复杂的极限也就好算了。

有了数列极限的工具，就可以轻松破解著名的芝诺悖论：

让乌龟在运动员阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

我们可以设，阿基里斯跑到第一个乌龟点，用时t

阿基里斯跑到第二个乌龟点，用时t/10

阿基里斯跑到第三个点，用时t/100

……

阿基里斯跑到第n个点，用时t/10^n

于是阿基里斯追上乌龟的总用时

也就是说，阿基里斯追上乌龟的时间是有限的，虽然是无穷数列，但数列的和并不是无穷。