什么叫最小公倍数（最小公倍数）

导读 之前我们介绍了最大公因数，它与最小公倍数之间的联系是什么？本期我们主要来讨论这个问题，我来为大家讲解一下关于什么叫最小公倍数?跟着小编一起来看一看吧!

什么叫最小公倍数

导读

之前我们介绍了最大公因数，它与最小公倍数之间的联系是什么？本期我们主要来讨论这个问题。

先来回顾最大公因数与其相关定理，再给出主要结论。

最大公因数

定义 设a，b是任意两个非零整数，如果d|a，d|b，则称d是a，b的一个公因数。a和b的公因数中最大的一个叫做a，b的最大公因数，记为(a, b).

例子 (12, 15)=3。

注：如果(a，b)=1，那么我们称a和b互素。此时称分数a/b为既约分数。易知a，b的公因数都是(a，b)的公因数。

定理1 设a，b是任意两个不全为零的整数，则存在整数s，t使得

as bt=(a, b).

例子 (4, 6)=2, 6×1 4×（-1）=2.

定理2 设a，b是任意两个不全为零的整数。若m是任一正整数，则

(am，bm)=(a, b)m.

例子 (4, 6)=2, (4×3, 6×3)=2×3

最小公倍数

定义 设a，b是任意两个非零整数，如果a|m，b|m，则称m是a，b的一个公倍数。a和b的公倍数中最小的正数叫做a，b的最小公倍数，记为[a, b].

例子 [3, 4]=12。

引理1 若c|ab, 且（a, c）=1，则c|b.

例子 2|3×6， （2, 3）=1， 则2|6.

定理 设a，b是任意两个正整数，则a，b的所有公倍数就是[a, b]的所有公倍数，且

[a, b]=ab/(a, b).

分析 只需证明2件事

1. ab/(a, b)是a, b的公倍数。

2. 所有a, b的公倍数都是ab/(a, b)的倍数。

证明 设m是a, b的公倍数，m=aq=bp. 令a=u(a, b), b=v(a, b).

则有 uq=vp. 由定理2知(u, v)=1. 故由引理1可知 u|p. 令p=uk，则

m=bp=buk=[ab/(a, b)]k.

反之 因为b/(a, b)是整数，所以

a|[ab/(a, b)], 同理b|[ab/(a, b)]. 所以

ab/(a, b)是a, b的公倍数。□

例子 24与32，（24, 32）=8，由定理可知

[24, 32]=24×32÷8=96.

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