广义相对论10个方程（利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程）

光是如何选择路径的？在公元40年左右，古希腊数学家海伦就提出，光会选择最短距离的路线，这被称为最小距离原理。但是，该原理无法解释光的折射。后来，在大约一千年以后，法国数学家费马提出，光沿着时间最短的路径前进，并以此原理解决了光的折射问题。事实上，凭借着最短时间原理，我们可以解决光学上的几乎所有问题。

在这之后，科学家都在寻找更好的能最小化的量来解决物理上的难题，而拉格朗日率先有了突破。一个粒子从A点到B点，它会遵循怎样的路径？拉格朗日发现，粒子的动能和势能之差与光的最短时间原理有相似之处，粒子所走的路径始终遵循能量差最小化。

上式L被称为拉格朗日量，而S被称为作用量。拉格朗日提出，自然界的运行总是以作用量最小为原则，后来这被称为最小作用原理。此外，他还从最小作用原理得出了拉格朗日方程：

有了这个式子，当我们从牛顿力学转向拉格朗日力学时，在对多体系统的计算中，会发现计算量明显少了很多。最小作用原理不仅可以在经典物理中使用，在量子力学和相对论中也可以使用。在前面的文章中，我们已经推导了拉格朗日方程，也介绍了它在费曼路径积分中的应用，今天我们就用它在广义相对论下推导短程线/测地线。

首先，黎曼空间中A和B两点之间可以有无数条线，其中取极值的线称为短程线，线的长度为S：

其中，相邻两点之间的距离为ds，它也称为线元：

引入标量型参量λ：

因此，线的长度S、拉格朗日量和拉格朗日方程的公式变为：

把拉格朗日量代入拉格朗日方程得到：

当我们把λ选择为线长S时，

所以，（1）式可化简为：

其中，减号右边的项α=β合并了，又因为：

所以代入（2）式可继续变形为：

注意到：

于是（3）式可继续写成：

利用克里斯多菲符号与度规之间的关系，我们最终得到：

这就是黎曼空间中的短程线/测地线方程，也就是广义相对论的运动方程，“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”的下半句。顺便说一下，爱因斯坦场方程可以推导出这个运动方程，所以场方程和运动方程实际上是一个东西。