初一下册数学实数的运算（中学生课外读物数的产生与发展）

中学生课外读物《数的产生与发展》（实数及运算），我来为大家讲解一下关于初一下册数学实数的运算?跟着小编一起来看一看吧!

初一下册数学实数的运算

中学生课外读物《数的产生与发展》（实数及运算）

1.实数概念

我们知道数的产生，起源于计数，分配和度量。

最简单的度量是一根直木棍有多长？

原来这个问题那么不简单。

开始人们用步或手指来规定单位，然后开始度量，但木棍的长短总是在几个单位后，多余一点。人们把单位缩小，然后用缩小的单位去量剩余的部分，可能几个小单位后还有剩余部分。

这个剩余部分，在生活中小到可以忽略不计，人们就用有限小数就够用了，但在较真的科学家眼中却永远是个缺陷，不完美，不科学。

科学家就用线段代替木棍，看看线路的长度怎么度量。

现在通用长度单位的千米（公里），米，分米，厘米，毫米，微米，纳米，…

1千米＝1000米，

1米＝10分米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米，1毫米＝1000微米，1微米＝1000纳米。

纳米单位如此之小，一条线路还不是整数纳米长，还可能剩余那么一点点，它不够一纳米。

这样线路长度用某单位去度量时，就会出现无限小数。

开始人们以为度量线段长度用有理数即无限循环小数就够用了，但直到二次根号2即√2的出现和研究，彻底打破了人们以往的认知。

因为人作一个边长为1的正方形，其对角线长度就是√2。

又有：一个长为√2，宽为1的长方形对角线长度为√3。

一个长为2，宽为1的长方形对角线长度为√5。

一个棱长为2的正方体的对角线长为2√3。

一个体积为3的正方体棱长为三次根号3。

这些可都不能用分数表示，当然不能用有限小数或无限循环小数来表示了。

人们在残酷的现实逼迫下，终于承认了这类新数，它们是小数，但是无限不循环小数，并把它们称为无理数。

如：

0.101001000100001000001…，0.525225222522225222225…

可以随便写出很多，它们都是无限不循环小数，称为无理数。

显然，有正无理数，它们每个对应着的一个相反数，是一个负无理数。

将有理数加上无理数，统称为实数。所有的实数组成的集合叫实数集，常用字母R来表示。

如：√2∈R，但√2∈Q不成立。

三次根号3∈R，但三次根号3∈Q不成立。

0.101001000100001000001…∈R，但0.101001000100001000001…∈Q不成立。

显然，所有的实数均可写成整数，有限小数，无限循环小数及无限不循环小数。即所有的实数可以写成小数（整数看成有限小数），所有的小数都是实数。

由前知，√2，√3，√5，√6，√7，√8，√10，三次根号3，化成小数后，都是无限不循环小数。

2.实数性质

①无理数有无数多个。

因为仿前例，可写出无数多的不循环小数。

因由前知，√2，√3，√5，√6，√7，√8，√10，化成小数后，都是无限不循环小数。研究√n（n∈N），会发现少于一半的值是有理数，多于一半的值为无理数。所以将无数个√n（n∈N）值中的有理数去掉，仍然有无理数无数多个。

②实数有大小

由前知，线段有长有短，我们规定长的对应的正实数大，短的对应的正实数小。

将长度数值写成小数后，寻找出前面相同的部分后，看开始不同的那位，大的对应的实数大。

显然，大正数的相反数小于小正数的相反数。

若所有的位上对应的数都相等，那这两正实数相等。当然它们的相反数对应的负实数就相等。

加上负数小于0，正数大于0，就可知道，任两个实数是可以比较大小的。

③任两个不等的有理数之间不光有无数个有理数，还有无限多个无理数，不管这两个有理数之间距离多么小。

事实上，取两个已知有理数的小数中的相同部分不变，然后在开始不同及以后的所有位上的两段小数之间，可任意改写出无限不循环小数接在相同小数部分后，得到的新数是介于已知两数之间的无理数。

④实数不仅是致密的，还是连续的

因为任两不等小数间可写出无数个小数来，所以实数是致密的。这个性质有理数已经具备。

但有理数不是连续的。因为两个不等有理数之间还有无理数，不是有理数“紧接着”有理数的，它们被无理数“隔断”了。

但实数具有了连续性。

连续性定义及此结论相关证明，可见有关书籍。

⑤可以证明，实数中有理数是可数（或可列）的，但无理数却是不可数的。在这个意义上，无理数比有理数多“很多”。

你能接受这个怪异的结论吗？

人们研究有：

实数是与直线（数抽）上的点成一一对应的，即个数是相等的。

直线上的点与平面上的点可以建立一一对应。

直线上的点与我们生活的立体空间中的点可以建立一一对应。

也就是说，实数的个数，与三维空间中点的个数相等。

你又能接受吗？

详情可在深造中。

3.实数加减乘除四则运算

说起实数的运算，可不再那么简单了，因为涉及到无限不循环小数的认识，这个里面的无限不循环，又不能像无限循环小数那样化成简约的分数形式，光一个无理数就难以认清，里面的问题很是纠缠不清。

数学家们为了实数概念和运算等理论知识的建立，伤透心，全是无限不循环惹的祸。

最终建立了一整套高深的理论体系，才解决掉人们心中的疑惑，才能放心大胆地去用有关结论解决问题。

但是，至今仍有好多没有解决或不够好的地方。

作为常人，这里我们不追究那么深。把我们常用的，容易理解乖掌握的知识介绍一下。

数发展到实数后，由于现实需要，运算除了加减乘除乘方开方六种外，又有幂概念，指数运算，对数运算，三角运算，最终发展出导数运算，积分运算等。

实数加减法，等同于线段拼接和剪裁。

两个正实数相加得的实数，就是将长度等于这两个实数的线段首尾相接成的一条新线段长度。负实数相加，取-号，将它们的相反数相加。0和实数相加，值不变。正实数与负实数相加，取绝对值较大的数的符号，然后将大绝对值对应的线段，截去小绝对值对应的线段后得到的线段长度。

实数减法改成加上减数相反数，变成和来做。

两实数相乘，积的符号仍按同号为正，异号为负，有0为0，其余绝对值相乘。这里面的难点就是一个无理数与一个无理数，即一个无限不循环小数与一个无限不循环小数怎么乘？√2是一个无理数，它的小数点后的数字是什么就弄不全清，√2与√2之积怎么就等于2？

也不能用一个线段长度乘以一个线段长度，那是什么含义？你说用分配律：√2×√2＝√2×（1.414…）＝√2×1＋√2×4／10＋√2×1／100 …将线段长度不断分割取份再相加，这又是一个无限过程，鬼知道结果会是谁？它竞然为2？

乘法到底怎么定义？要用到极限？其间会出现什么新东西或问题？是不是就变出什么新东西来？

乘法问题解决了，除法仍为乘法逆运算也就解决了。

关于实数加减乘除，有下列结论：

①实数经过加减乘除（除数不为0）运算后仍为实数。称为实数关于加减乘除封闭。

②实数加乘满足交换律，结合律及乘法对加法的分配律。

③实数是连续的。

这也是数的发展好像走到尽头的一种表象，因为从度量角度来说，直线上再也“无法”加进其它的数了。

④实数可以比较大小。

4.实数的其它运算

①乘方开方运算见前述。另须补一点根式运算性质。

②幂的有关概念

正整数指数幂，

0指数幂，

负整数指数幂，

正分数指数幂，

负分数指数幂，

无理数指数幂。

最后得到幂a＾x中a∈R，x∈R，有的无意义，有的有意义，有意义时可运算得结果为一实数。

③指数运算性质：

a＞0，b＞0，x∈R，y∈R时

（a＾x）×（a＾y）＝a＾（x＋y）

（a＾x）÷（a＾y）＝a＾（x-y）

（ab）＾x＝（a＾x）×（b＾x）

（a／b）＾x＝（a＾x）／（b＾x）

（a＾x）＾y＝a＾（xy）。

④对数及运算性质

若a＾x＝N（其中a＞0，a≠1），则称x为以a为底数N为真数的对数，记为x＝IogaN，读作x等于罗格aN。

如：∵2＾2＝4，∴log2（4）＝2，

∵2＾3＝8，∴log2（8）＝3，

∵2＾5＝32，∴log2（32）＝5，

∵3＾4＝81，∴log3（81）＝4，

可知log2（1／8）＝-3，log√2（8）＝6。

可以证明：

Ioga（MN）＝Ioga（M）＋Ioga（N）

Ioga（M／N）＝Ioga（M）-Ioga（N）

Ioga（M＾n）＝nIoga（M）。

⑤其它运算见有关书籍。

,