高考数学导数题型零点问题例题(高考数学综合题型解题策略分析)

高考数学导数题型零点问题例题(高考数学综合题型解题策略分析)(1)

已知函数f(x)=lnx a/x(a>0).

(Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 证明:当a≥2/e,b>1时,f(lnb)>1/b.

解:(Ⅰ)法1:函数f(x)=lnx a/x的定义域为(0, ∞).

由f(x)=lnx a/x,得f'(x)=1/x-a/x2=(x-a)/x2.…

因为a>0,则x∈(0,a)时,f'(x)<0;x∈(a, ∞)时,f'(x)>0.

所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a, ∞)上单调递增.…

当x=a时,[f(x)]min=lna 1.…

当lna 1≤0,即0<a≤1/e时,又f(1)=ln1 a=a>0,则函数f(x)有零点.…

所以实数a的取值范围为(0,1/e].…

法2:函数f(x)=lnx a/x的定义域为(0, ∞).

由f(x)=lnx a/x=0,得a=﹣xlnx.…

令g(x)=﹣xlnx,则g'(x)=﹣(lnx 1).

当x∈(0,1/e)时,g'(x)>0; 当x∈(1/e, ∞)时,g'(x)<0.

考点分析:

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

题干分析:

(Ⅰ)法一:求出函数f(x)的导数,得到函数的单调区间,求出f(x)的最小值,从而求出a的范围即可;

法二:求出a=﹣xlnx,令g(x)=﹣xlnx,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出a的范围即可;

(Ⅱ)令h(x)=xlnx a,通过讨论a的范围,根据函数的单调性证明即可.

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