高考数学导数题型零点问题例题（高考数学综合题型解题策略分析）

已知函数f（x）=lnx a/x（a＞0）．

（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ） 证明：当a≥2/e，b＞1时，f（lnb）＞1/b．

解：（Ⅰ）法1：函数f（x）=lnx a/x的定义域为（0， ∞）．

由f（x）=lnx a/x，得f'（x）=1/x-a/x2=(x-a)/x2．…

因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a， ∞）时，f'（x）＞0．

所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a， ∞）上单调递增．…

当x=a时，[f（x）]min=lna 1．…

当lna 1≤0，即0＜a≤1/e时，又f（1）=ln1 a=a＞0，则函数f（x）有零点．…

所以实数a的取值范围为（0，1/e]．…

法2：函数f（x）=lnx a/x的定义域为（0， ∞）．

由f（x）=lnx a/x=0，得a=﹣xlnx．…

令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx 1）．

当x∈（0，1/e）时，g'（x）＞0； 当x∈（1/e, ∞）时，g'（x）＜0．

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；

法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；

（Ⅱ）令h（x）=xlnx a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．