顶点坐标求解析式（解双斜率模型问题-齐次联立构造过原点两直线斜率韦达式）

“双斜率模型”是圆锥曲线中热门问题，下面我将通过下面这个题由点带面，归纳出这类问题将如何解决，并且还将渗透我个人研究出来的新见解。

这个题，我也出给我的学生做过，他们真正做出正确结果来的人不多，很多学生说：老师，我知道方法，但就是算不出。他们说的是事实 ，很多学生说方法头头是道，但具体做的时候，不是算不出结果，就是算错了。我想出现这种情形，与他们使用的方法本身运算量不无关系，下面我把他们的主流方法晒出来，然后我们再来探讨新方法。

解后语：这方法中等基础的同学可能想得出，毕竟它符合了我们习惯的那种做直线与圆锥曲线问题的方式：“出发”时走一样的路：先联立，然后韦达定理，接着再根据问题的不同，各走各路！但本题这种方法运算量有点大，可能会让我们“死”在茫茫计算的路上。

那有没有更好的方法呢？有的，不过有点说来话长，我们暂时抛开这个题目，来说说这方法的来龙去脉。

先看一个引理一：

不过原点的直线方程可表示为mx ny=1（m，n不同时为0）的形式。我称这种直线方程的形式为“带一式”。（阳光老师自取的名称，因为右边有个1嘛，以方便后面描述。）

下面我们举例说明这个引理的应用，并通过它进行归纳。

(由于m是定值，所以动直线AB的变化靠n的变化决定，要找定点，只有“消灭”n,怎样“消灭”？靠y了，当y=0时,y就和n“同归于尽”了。所以，“同归于尽”是找定点和定值常用的“伎俩”。)

解后语：造齐次的作用在哪呢？通过造齐次，我们得到了y/x的一元二次程的形式，而y/x 的几何意义就是直线OA,OB的斜率k1,k2,于是就可以利用韦达定理了，而由垂直又有k1·k2=-1，从而实现了韦达定理和垂直的“会师”，这就是这种非常规联立的精髓，为方便描述，以后我们这种联立造齐次的方法为齐次联立法。

如果是碰到椭圆和双曲线，能不能进行齐次联立呢？我们看下面例子。

解后语：当直线碰到椭圆时，也是可以齐次联立的，椭圆可以，双曲线当然也可以的，本来椭圆和双曲线的方程差不多，联立运算技巧和抛物线都差不多，只是运算量比碰到抛物线大一点。

提醒同学们注意：齐次联立并不是常规联立的那种消元，而是造y/x这个整体的一元二次方程,而这个y/x的几何意义是指直线和圆锥曲线的交点与原点确定直线的斜率。

齐次联立怎么进行，这个容易掌握，重要的是，它能干什么？这是核心！下面我们作个归纳。

圆锥曲线中双斜率模型方法归纳：

方法一：常规联立法（不再多说）；

第二步：利用题目给出的k1，k2的轮换对称定值关系和韦达定理“会师”，从而解决相关问题。

你学会了吗？口说无凭的，用下面这个题检验一下吧，有什么问题可以和我交流哦，在下面留言区或私信我都行。

文章到这里为止，齐次联立方法目前的成果都是现成的方法，学霸们可能早用“烂”了，但阳光老师在这里按我的理解重新进行了整理和优化，不要小看这种整理和优化，这样处理之后可能不是学霸的学生，甚至是“学渣”（调侃而已，别上纲上线）也可能会用哦。

但我们能就此知足吗？

上面我们研究的两个斜率k1，k2都是从原点发出的两直线的斜率，如果我们碰到的是从非原点发出的两条直线斜率的轮换对称定值关系的条件呢？斜率就不是y/x了，是不是齐次联立方法就不能用了？我看到的这种题解法都是用常规联立法来做，那运算量啊，更大了！

如果说我们本文目前总结的方法解决的普通流感的话，那么，上一段说的这种题型，意味着“感冒病毒”变异了，那有没有特效药立竿见影消灭这种“升级病毒”呢？

经过阳光老师潜心研究，这种“变异”题型终于被我征服。不过，到这里，上篇也该结束了，因为，我觉得同学们还是先消化本篇的内容和方法（比如，做做留的那个作业题），先打好一个基础，基础打好，下篇的升级版方法，我们将轻装上陈！

我将在下篇带着大家破解这种“变异”的题型，不但会提出我研究出来的升级版的齐次联立法，而且还将带着大家把本文开始的那个例题用用升级版新方法来搞定它。

咱们下一篇不见不散！