高中数学复数知识点：数形结合思想之

复数法是以复数作为沟通数与形间的相互关系，进行数与形的相互转化，利用复数知识实现问题解决的解题方法。

复数具有如下对应，转化关系：

复数转化关系图

在这些对应下，复数的各种代数运算都有特定的几何意义。

因而适当引入复数，利用这种对应关系进行数形转化，进而可以实现“以形解数”或“以数解形”。

例题1、设

例题1图（1）

求证：

例题1图（2）

解题思路：

待证不等式中的四个无理式具有复数模的形式，可考虑引入复数，用有关复数模的知识解题。

证明：设

例题1图（3）

例题1图（4）

例题1图（5）

例题1图（6）

例题2、在凸平面四边形 ABCD 中 ，AC ， BD 是对角线 。

求证：AC · BD ≤ AB · CD AD · BC 。

例题2图（1）

解题思路：

把线段看成相应复数的模，则待证不等式可转化成复数模的不等式，在用有关复数模的不等式解决问题。

证明：引入复平面，并设 A , B , C , D 对应的复数分别为 O，z1 , z2 , z3 , 则向量 BC 对应复数 z2 - z1 ，

向量 BD 对应 z3 - z1 ，向量 CD 对应 z3 - z2 ，则

例题2图（2）

AC · BD = ∣z2∣ · ∣ z3 - z1 ∣ = ∣z2·z3 - z1·z2 ∣ ;

AB · CD = ∣z1∣ · ∣ z3 - z2 ∣ = ∣z1·z3 - z1·z2 ∣ ;

AD · BC = ∣z3∣ · ∣ z2 - z1 ∣ = ∣z2·z3 - z1·z3 ∣ ;

∵ AB · CD AD · BC = ∣z1·z3 - z1·z2 ∣ ∣z2·z3 - z1·z3 ∣ ≥ ∣z1·z3 - z1·z2 z2·z3 - z1·z3 ∣

= ∣z2·z3 - z1·z2 ∣ = AC · BD ,

∴ AC · BD ≤ AB · CD AD · BC

注：当四边形 ABCD 内接于圆时，所证不等式取“=”号，也就是著名的托勒密定理 。

例题3、如图，在正方形 ABCD 中 ，BE∥AC ，AC = EC ，AB 交 CE 于点 F ，求证 ：AE = AF 。

例题3图

证明：建立如图所示的复平面，以点 B 为坐标原点，BC 所在的直线为 x 轴，BA 为 y 轴 。

设已知正方形边长为 a （a > 0），∠ECA = θ 。

则 向量 CA 对应的复数为 z1 = -a ai ；

向量 CE 对应的复数为 z2 = z1 · （cosθ isinθ）,

即 z2 = （ -a ai）（cosθ isinθ）= （ -acosθ - asinθ） i（acosθ - asinθ）。

∵ 向量 BE∥向量CA

∴ 设 向量BE = λ · 向量CA

则向量 BE 对应的复数为 λ（ -a ai）

∵ 向量 CE = 向量 BE - 向量 BC

∴ 向量 CE 又对应复数 z2 = λ（ -a ai）- a = -λa - a λai

∴ （ -acosθ - asinθ） i（acosθ - asinθ）= -λa - a λai

由两个复数相等的充要条件可得

-acosθ - asinθ = -λa - a ①

acosθ - asinθ = λa ②

① ② ：-2asinθ = -a , 即 sinθ = 1/2 ,

∴ θ = 30°

∵ △AEC 是等腰三角形 ，∠ECA = 30° ，

∴ ∠AEC = 75° 。

又 ∵ ∠EFA = ∠ACE ∠CAF = 30° 45° = 75° = ∠AEF

∴ AE = AF

,