函数在开区间内连续就有界吗（函数在开区间上一致连续）

#创作挑战赛#

函数在闭区间上一致连续的条件很好总结，也很好记，那就是闭区间上的连续函数一致连续。即在闭区间上，连续是一致连续的充要条件。那么函数在开区间上一致连续又有什么条件呢？是不是也是充要条件呢？

事实上，如果函数在开区间上任一收敛的自变量数列，对应的函数列的极限都存在，那么函数在开区间上就一致连续。这是函数在开区间上一致连续的一个充分条件，至于是否必要条件，不在这篇文章讨论的范围。

证明：设函数f定义在有限区间(a,b)上，若对于(a,b)内任一收敛数列{xn}，lim(n→∞)f(xn)都存在，则f(x)在(a,b)上一致连续.

证：若f在(a,b)上不一致连续，则存在ε0>0，对任给的δ>0,【这是反证法。只要有一个ε0使一致连续的定义不成立，就可以了。接下来证明不存在这样的ε0】

总有x’,x”∈(a,b)，使得|x’-x”|<δ，但|f(x’)-f(x”)|≥ε0.【与一致连续的定义相反】

取δn=1/n (n=1,2,…)，则相应有{xn’}与{xn”}⊂(a,b)，【取分数单位数列{1/n}的所有项为δn，由于一个δ对应两个点，那些对应x'的点记为数列{xn'}，对应x"的点记为数列{xn"}，这两个数列都包含于开区间】

使|f(xn’)-f(xn”)|≥ε0.【且两个数列中对应项的函数距离都不小于ε0】

取收敛子列{x’_(nk)}⊂{xn’}，{x”_(nk)}⊂{xn”}，【由于这两个数列都是有界无限的,所以他们各至少有一个收敛子列】∵0≤|x’_(nk)-x”_(nk)|<1/nk →0(k→∞)，【而两个收敛子列的对应项距离肯定不小于0，但它又小于对应的δ_(nk)=1/nk】

∴lim(k→∞) x’_(nk)=lim(k→∞) x”_(nk),【当k趋于无穷时，δ_(nk)趋于0，由迫敛性知，两个收敛子列的极限相等】

即lim(k→∞)[f(x’_(nk))-f(x”_(nk))]=0,【而两个收敛子列对应项的函数子列对应项距离的极限也等于0】

∴当k充分大时，|f(x’_(nk))-f(x”_(nk)) |<ε0，矛盾.【显然，与上面假设的|f(x’)-f(x”)|≥ε0矛盾】

∴f在(a,b)上一致连续.

需要特别指出的是，“当自变量的极限存在时，可交换函数和极限符号的顺序，因此函数的极限也存在”，是这道题的重要依据。有兴趣的小伙伴们可以探究一下，这个条件是不是必要条件。