坚持每天10道数学计算题(小学就做过的数学题)
我国著名数学家华罗庚(1910—1985)教授曾经用一道简单而有趣的问题做引子,介绍了一门新兴的数学分支———统筹方法。
问题是这样的。他想泡壶茶喝,当时的情况是,没有开水,开水壶要洗,茶壶、茶杯要洗,火已生了,茶叶也有了,怎么办?
办法自然有,例如:
办法一:先洗开水壶,灌上凉水,放在火上;然后坐等水开,水开后立即洗茶壶,洗茶杯,拿茶叶,泡茶喝。
办法二:先洗开水壶、茶壶、茶杯,并拿来茶叶;一切就绪后再灌水、烧水,坐待水开后泡茶喝。
办法三:先洗开水壶,灌上凉水,放在火上;在等待水开的时间里,洗茶壶,洗茶杯,拿茶叶,水一开就泡茶喝。
我想小伙伴们都已看出,第三种办法最好。前两种办法都“窝了工”,造成了时间上的浪费。
仔细分析一下就会知道,在要做的许多事中,有些事必须做在另一些事的前面,而有些事则一定要做在另一些事的后面。
举例来说,不洗开水壶,即使水烧开了,卫生没有保证,自然是不可取的。因此,洗开水壶是烧开水的先决条件。同样,烧开水、洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶都是泡茶的先决条件。
在下图中,可以使人一目了然地看清楚各事件间的先后顺序和相互关系。箭头线上的数字表示完成这一动作所需要的时间(图中单位:分钟)。
用数字表示任务,并把本身没有什么先后顺序,而且是同一个人干的活合并起来,便有这种箭头图,我们称为“工序流线图”。
当然,华罗庚教授所举例子中的工序流线图是极为简单的!在一般情况下,需要完成的任务很多,内部关系纵横交错,因而工序流线图也就比较复杂。
对于一项工程来说,一个很主要的指标是,完成它需要多长时间?例如上面泡茶的例子,完成它至少需要16分钟。这是根据用时最长的一条工序流线①→1→②→15→④计算出来的。这条用时最长的工序流线,我们称为主要矛盾线。工序流线图中的其余工序,显然都可以安排在完成主要矛盾线的同时去完成。
正如泡茶例子中的工序③→④,即洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,可以安排在工序②→④,即烧开水的同时去完成。
通过工序流线图,读者可以很容易明白,主要矛盾线上如果延误1分钟,整个工程完成的时间也势必延迟1分钟;相反,如果主要矛盾线上提早完成了,那么整个工程也就有希望提早完成!下面是一张生产计划表。
上表相应的工序流线图如图3所示。
图3
要找出该生产计划的主要矛盾线,就必须算出各种工序流线所需要用的时间,如下表所示。
由上标可以看出,编号为5的工序流线为该生产计划的主要矛盾线。它表明要完成这项生产计划所花时间不能少于26个单位时间。
不难想象,对于更为复杂的工序流线图,要像上面那样找出主要矛盾线是极为困难的!不过,读者可能没有想到,要解决主要矛盾线的问题,只需一把普通的剪刀就够了!要说明这种剪刀下出现的奇迹,我们还得从“紧绳法”讲起。
大家都知道,如果从甲地到乙地有两条路可走,人们总是走近路。但对于交通发达、道路纵横的区域,要想从一个地方走到另一个地方,想走近路就不是那么容易了!
有一种巧妙的办法,可以使人在几分钟甚至几秒钟内,从几十条甚至几百条的道路中,选出一条最短的路来,这就是“紧绳法”。
紧绳法是这样的:把区域的交通图铺在平板上,然后用不容易伸缩的细线,仿照地图上的线路结成一张如图所示的交通网。如果我们需要找出从A到B的最短线路,只要用手捏住A、B两点的线头,用力把它们往相反的方向拉开,则所拉成的直线ACDEB就是我们所要找的最短线路。
现在转到找主要矛盾线上来。你可能已经看出,工序流线图有点像城市的交通网,只是把完成任务的时间看成相应道路的长短,同时任务的进行是有方向的罢了!可惜这里要求的不是最短的线路,而是最长的线路。
交通网示意图
交通网示意图
不过,我们可以利用一把剪刀,把“紧绳法”巧妙地移植到本节所求的问题上来。
像“紧绳法”那样,用不容易伸缩的细线编成一个工序流线图那样的网。仍以生产计划表所示的生产计划为例,如图5所示,网中各段细线的长度表示完成相应工序所用的时间。
图5
拉紧①、⑨可得图6。
图6
以上显然求出了从①到⑨的最短线路。为求主要矛盾线,我们可将直线段①—⑨上有分叉的某一节剪去。当然,剪时最好能从头开始,同时还要注意到剪后新图上工序箭头的合理性。
例如,剪去②—⑤并拉紧①、⑨可得图7。
图7
同理,剪去图15.7中的②—③并拉紧①、⑨得图15.8。
图8
读者从图8不难看出:工序⑦→③→⑥与工序⑦→⑤→⑥并不存在(箭头方向不对!),因而线头③和⑤实际上不起作用,可以大胆剪去,得到图9。
图9
最后,剪去④—⑥得到图10。
图10
现在已经没有分叉了。所得的最长线路为①—②—④—⑦—⑧—⑨这显然与我们前面通过计算得到的主要矛盾线是一样的!
瞧!剪刀下果真出现了奇迹!这是当初数学家们所没料到的!
来源:《给孩子的数学故事书》
作者:张远南 张昶
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