初二数学平行四边形一题多解（初中数学平行四边形想不得满分都难）

初中数学几何平行四边形满分之路

专题1：在平面直角坐标系下探究平行四边形的存在性问题

【导例】若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( ).

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【解题策略】

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．

一．已知三定点求第四点构成平行四边形：

③平移法（填空选择题）

【解题步骤】

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

第一步：分析背景图形中的相关信息，结合图形形成因素，寻找分类标准；

第二步：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形，尝试画图；

第三步：推理和计算，验证结果．

【导例答案】分三种情况考虑：

①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；

②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；

③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，

则第四个顶点不可能落在第三象限.故选C.

二、已知两定点来定平行四边形

1、遇到这类题型需要我们分两类去讨论：

（1）以两定点为边的平行四边形

（2）以两定点为对角线的平行四边形

【解题思路】

1、先依据题意把两动点的坐标设出来

2、分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形，尝试画图（尽可能的标准）

3、根据中点坐标公式或构造三角形全等或相似求动点的坐标

【分析】（1）观察图象即可得到答案；

（2）由A，B两点为定点，则线段AB可作为平四边形的边，也可以作为平行四边的对角线，以此进行分类，结合函数解析式来进行问题的求解．

专题2：动点与平行四边形的存在性问题探究

【导例】如图，矩形OABC的位置如图所示，点B的坐标为(8，4)，点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t(0≤t≤4).

(1)填空：点A的坐标为____，点C的坐标为_____，点P的坐标为______(用含t的代数式表示).

(2)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化?说明理由.

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．

动点问题思路剖析

问题1：动点问题的处理框架是什么？

答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形）

问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？

答：①起点、终点、速度：标注到图形中，以示说明

②时间范围：根据路程、时间和速度的公式s=vt，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间

③状态转折：状态转折即点的运协发生变化的时刻，常体现在动点的运动方向，运动速度发生了改变

④目标或结论导向：根据题意作出图形，有序操作（分段作图并求解）

问题3：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？

答：①路程即线段长，可根据s=vt直接进行表达已走路程或未走路程

②根据研究几何特征的需求进行表达，即要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息

Ø 知识点睛

动点问题的解决方法：

1. 研究背景图形并标注；

2. 分析运动过程，并适时分段；

3. 表达线段长，建等式和方程．

专题3：利用垂线段最短来求平行四边形中线段最值问题类型探究

线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有：

1、特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证；

2、几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题

3、数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理；

4、轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用

初二阶段所考查的几何最值问题往往体现在用几何定理法来求取，即应用几何中的不等量性质、定理来求取，涉及的知识点包括：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”等，在具体求取中通过“轴对称”，“平移”，可以找对称点实现化“折”转“直”，从而达到问题直观的转化，下面我们就来学习一下利用垂线段最短来处理平行四边形中线段的最值问题．

Ø 知识点睛

【解题策略】

1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，

2.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；

2.知识转化，根据内在联系转化相关线段,应用“垂线段最短” 求出相关线段的最小值.

说明：“化折为直”是我们解决问题的根本，必要时进行利用旋转类全等化主动点为从动点，进而处理动点形成的最值问题

专题4：与平行四边形的有关的综合类探究型问题解析

探索存在型问题是近几年来考试的热点问题，这类问题考查的知识面较大，题型也较多，构思巧妙，有相当的深度和难度，有时解题方法较为灵活，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，首先对于基础知识的考查一般很到位，其次着眼于学生的的计算和推理能力，一岙没有固定的解题模式或套路。一般的探究型问题有两大类：条件型探究与结论型探究，可以尝试从以下几个角度进行考虑：

1、利用特殊值法（特定点，特殊数是，特殊线段，特殊位置等）进行归纳、概况，从特殊到一般，从而得出规律；

2、反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看推导出的结论与前提条件是否存在矛盾还是能与已知条件一致；

3、分类讨论法，当命题的题设和结论不惟一时，难以进行统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分类讨论求解，将不同的结论进行归纳得出正确结论

4、类比猜想法，即由一个问题的结论或解决问题的方法类比得出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证

Ø 知识点睛

解决问题的解法一般思路是：假设存在，推理论证，得出结论，在涉及到几何图形的存在型问题时，往往涉及到勾股定理、全等、相似等相关知识的运用，从而转化边角之间的对应关系，进而进行相应的推理和计算，

类型一：条件型探究

【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，进而可得DB=DP，PE=EC，从而可得四边形ADPE的周长=AD DP PE AE=AB AC；

（2）当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；首先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明DP=PE即可得到四边形ADPE是菱形；

（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平行四边形，再根据平行线的性质可得∠1=∠3，从而可证出∠2=∠3，进而可得AE=EP，然后可得四边形ADPE是菱形．

类型二：结论型探究

【分析】（1）由折叠的性质可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行线的性质可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可证四边形BEGF是菱形；

（2）当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，由勾股定理可求EG的长，即可求解．

专题5：利用轴对称来处理平行四边形中

有关“将军饮马”类最值问题

【导例】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点则PM＋PN的最小值是 ．

线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有：

1、特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证；

2、几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题

3、数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理；

4、轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用

初二阶段所考查的几何最值问题往往体现在用几何定理法来求取，即应用几何中的不等量性质、定理来求取，涉及的知识点包括：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”等，在具体求取中通过“轴对称”，“平移”，可以找对称点实现化“折”转“直”，从而达到问题直观的转化，下面我们就来学习一下利用轴对称来处理平行四边形中有关的线段最值问题．

Ø 将军饮马类型

Ø 知识小结

我们利用三角形三边关系来求解两点之间的最值问题，往往需要我们构造一个三角形，这个三角形是是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边” ．“化折为直”是我们解决问题的根本．

专题6：利用三边关系来求取平行四边形中线段最值问题类型探究

线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有：

1、特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证；

2、几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题

3、数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理；

4、轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用

初二阶段所考查的几何最值问题往往体现在用几何定理法来求取，即应用几何中的不等量性质、定理来求取，涉及的知识点包括：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”等，在具体求取中通过“轴对称”，“平移”，可以找对称点实现化“折”转“直”，从而达到问题直观的转化，下面我们就来学习一下利用三边关系处理两点之间线段关系来求取平行四边形中线段的最值问题．

【解题策略】

1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，

2.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；

2.知识转化，根据内在联系转化相关两线段和差与第三条线段大小之间的比较，,应用“三边关系”来求取所求线段最值，如何找寻相应的三角形是处理问题的关键．

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