高中数学导数之零点问题（高中数学导数中的典型综合题）

一、恒成立有解问题

例题1、设函数 f（x）= lnx , g（x）= ax （a - 1）/ x - 3 （a ∈ R）。

（1）当 a = 2 时 ， 解关于 x 的方程 g（e^x）= 0 （其中 e 为自然对数的底数）；

（2）求函数 ψ（x）= f（x） g（x）的单调区间 ；

（3）当 a = 1 时 ， 记 h（x）= f（x）· g（x），是否存在整数 λ ，使得关于 x 的不等式 2λ ≥ h（x）有解？

若存在 ，请求出 λ 的最小值 ；若不存在，请说明理由 。（参考数据：ln2 ≈ 0.6931，ln3 ≈ 1.0986）

解：

例题1图（1）

故所求的方程的根为 x = 0 , 或 x = -ln2 。

例题1图（2）

① 当 a = 0 时 ，由 ψ'（x）> 0 , 解得 x > 0 ；

② 当 a > 1 时 ，由 ψ'（x）> 0 , 解得 x > (a-1)/a ；

③ 当 0 < a < 1 时，由 ψ'（x）> 0 , 解得 x > 0 ；

④ 当 a = 1 时，由 ψ'（x）> 0 , 解得 x > 0 ；

⑤ 当 a < 0 时 ，由 ψ'（x）> 0 , 解得 0 < x < （a-1）/ a 。

综上所述：

当 a < 0 时 ，ψ（x）的增区间为 （0，（a-1）/ a）；

当 0 ≤ a ≤ 1 时，ψ（x）的增区间为 （0， ∞）；

当 a > 1 时 ，ψ（x）的增区间为 （（a-1）/ a， ∞）。

（3）当 a = 1 时 ，g（x）= x - 3 , h（x）= （x - 3）lnx ,

所以 h'（x）= lnx 1 - 3/x 单调递增 ， h'（3/2）= ln(3/2) 1 - 2 < 0 , h'（2）= ln2 1 - 3/2 > 0 ,

所以存在唯一 x0 ∈ （3/2 , 2）使得 h'（x0）= 0 ，即 lnx0 1 - 3/(x0) = 0 ,

当 x ∈ （0 , x0）时，h'（x）< 0 , 当 x ∈ （x0 , ∞）时，h'（x）> 0 ,

所以

例题1图（3）

记函数 r（x）= 6 - ( x 9/x ) , 则 r（x）在 （3/2 , 2）上单调递增 ，

所以 r（3/2）< h（x0）< r（2）, 即 h（x0）∈（-3/2 , -1/2），

由 2λ ≥ -3/2 ，且 λ 为整数 ， 得 λ ≥ 0 ，

所以存在整数 λ 满足题意 ， 且 λ 的最小值为 0 。

注：本题旨在考查解一元二次方程，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），不等式恒成立问题，构造函数，运用函数的思想求解，考查运算和推理能力，难度较大 。

二、零点问题

例题2、已知函数 f（x）= ax^2 - x - lnx , a∈ R 。

（1）当 a = 3/8 时 ， 求函数 f（x）的最小值 ；

（2）若 -1 ≤ a ≤ 0 , 证明 ：函数 f（x）有且只有一个零点 ；

解：

（1）当 a = 3/8 时 ，f（x）= ( 3/8) x^2 - x - lnx , 所以

例题2图（1）

令 f '（x）= 0 ， 得 x = 2 ,

当 x∈（0 , 2）时 ， f '（x）< 0 ；当 x∈（2 , ∞）时 ， f '（x）> 0 ,

所以函数 f（x）在 （0 , 2）上单调递减，在 （2 , ∞） 上单调递增 。

所以当 x = 2 时 ，f（x）有最小值 f（2）= -1/2 - ln2 。

（2）

例题2图（2）

函数 f（x）在 （0 ， ∞）上单调递减 ，

所以当 a ≤ 0 时 ，函数 f（x）在 （0， ∞）上最多有一个零点 。

例题2图（3）

所以当 -1 ≤ a ≤ 0 时 ， 函数 f（x）在 （0， ∞）上有零点 。

综上 ， 当 -1 ≤ a ≤ 0 时 ，函数 f（x）有且只有一个零点 。

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