对角线互相垂直的四边形面积证明（两组对边平方和相等的四边形的对角线互相垂直）

题：已知四边形ABCD中，求证：，我来为大家讲解一下关于对角线互相垂直的四边形面积证明?跟着小编一起来看一看吧!

对角线互相垂直的四边形面积证明

题：已知四边形ABCD中，求证：

（1）如果AC⊥BD，则AB^² CD^²=BC^² AD^²；

（2）如果AB^² CD^²=BC^² AD^²，则AC⊥BD.

分析：（1）的证明并不难，只需要设AC、BD的交点为O（如图1），则由勾股定理，即可得：

AB^²=OA^² OD^²，

CD^²= OB^² OC^²，

所以AB^² CD^²=OA^² OB^² OC^² OD^²，

同理，BC^² AD^²=OA^² OB^² OC^² OD^²，

所以AB^² CD^²=BC^² AD^²；

（2）的证明就有点悬了.如果采用直接证法，则首先想到的可能是运用勾股定理的逆定理，通过平移，对AC或BD的变换，使AC和BD构成三角形的两边.此时可得如下一种有点繁杂的证明.

证法1：如图2，将△CDB沿CA方向平移到△AEF（C与A重合），连接DE，BF，则四边形BDEF、ACDE、ACBF都是平行四边形，

所以CD=AE，BC=AF，BF=DE.

过点A作GH⊥BF于H，交DE于G.则GH⊥DE.

在Rt△ABH与Rt△AFH中，由勾股定理，得

AB^²-AF^{^2}= BH^²-FH^{^2}=(BH FH)(BH-FH)=BF·(BH-FH)，

所以AB^²-BC^{^2}=BF·(BH-FH)；

同理，AD^²-CD^{^2}=DE·(DG-EG).

因为AB^² CD^²=BC^² AD^²，

所以AB^²-BC^²=AD^²-CD^²，

所以BF·(BH-FH)= DE·(DG-EG)，

所以BH-FH=DG-EG，

因为BH=BF-FH，DG=DE-EG，

所以BF-2FH=DE-2EG，

所以-2FH=-2EG，

所以FH=EG，

又FH∥EG，

所以四边形EFHG是平行四边形，

所以平行四边EFHG是矩形，

所以EF⊥HF，即EF⊥BF，

因为BD∥EF，AC∥BF，

所以AC⊥BD.

如果采用间接证法——同一法，抛开AC与BD是否垂直，分别过点A、C作BD的垂线，再证这两条垂线重合.则可得如下较为简单的证法.

证法2：如图3，作AE⊥BD于E，BF⊥BD于F.则由勾股定理，得

AB^²-AD^²=BE^²-DE^²

=(BE DE)(BE-DE)

=BD·(BE-DE)

=BD·(BD-DE-DE)

=BD·(BD-2DE)；

同理，BC^²-CD^²=BD·(BD-2DF)，

因为AB^² CD^²=BC^² AD^²，

所以AB^²-AD^²=BC^²-CD^²，

所以BD·(BD-2DE)= BD·(BD-2DF)，

所以DE=DF，

所以点E、F重合，

所以BD的垂线AE和CF重合，

所以AC⊥BD.