为什么无限循环小数可以是分数（为什么所有的无限循环小数都可以用分数表示）

相信大家都曾听说过：

并且对于这个等式，大家基本都知道证明方法：

上述结论和证明过程都是正确的，不过这是一个特例，那么对于任意的无限循环小数，能否用分数表示呢？

例如0.673367336733…（6733四位数字循环出现），能否用分数表示呢？

首先我要告诉大家答案是肯定的，那么我们该如何用分数表示呢？

在解决这个问题之前，我们需要知道等比数列的求和公式，有了这个公式，我们就能将任意的无限循环小数转化为分数。

在上高中的时候，我们都学过等比数列的求和公式：

这个公式的推导过程其实很简单，运用的是错位相减法;

当q≠1时，

所以，两式相减，可得：

1、如何将0.999…转化为分数？

我们还是先用0.999…来小试牛刀。

首先0.999…可以看成：

为了用上等比数列的求和公式，我们需要将上述式子向等比数列的表达形式靠齐：

将上述式子和等比数列求和公式进行比较：

当n趋向于无穷大时，，于是：

2、如何将0.673367336733…转化为分数？

其实方法和上面是一样的，为了用上等比数列的求和公式，可以将0.673367336733…看成：

将上述式子和等比数列求和公式进行比较：

当n趋向于无穷大时，，于是：

将上述式子继续简化，可得：

3、其它的无限循环小数该如何转化为分数呢？

其它的无限循环小数，转化为分数的过程和上述步骤其实是一样的，这里我就不再举例，从将0.673367336733…转化为分数的过程中，我们似乎可以看出一些规律：

大家如果感兴趣的话，可以多举几个例子进行尝试，看看是不是符合上面这个规律。

好了，这一讲就到这里了。

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