六边形面积计算公式（多边形面积如何计算）

偶然翻看到尘封已久的笔记，看到了海伦公式，灵光一闪：多边形的面积公式？于是开启了数日的苦苦思考，想起了匆匆那年；想起了那些年暗恋的女孩；想起了…。在多次被虐、哭晕在厕所后，终于有了些许思路，所以赶紧整理分享出来。

三角形面积

如果三角形ABC对应的三条边长为a、b、c，那么三角形的面积如何求呢？

三角形是一个稳定的结构，三条边一旦确定，其面积也随之确定；那三角形的面积是否能用其边长的解析式表示呢？

解：余弦定理：

代入

其中，

。

这个公式就是鼎鼎大名的“海伦公式”。

四边形面积

继续上面“求三角形面积”的思路：边长为a、b、c、d的四边形面积又是什么解析式呢？

分析：与三角形不同的是，四边形是不稳定的（四个边确定后，四边形不唯一，其面积当然也不唯一）；但是这个面积是有上限的、有限的，那这个面积应该会有一个最大值；接下来我们找出这个最值的解。

解：连接B和D

，记

使用海伦公式，四边形面积

令

。由柯西不等式(可参考文末备注)：

当且仅当

时，等号成立。

即

同理，设

，可得当

时，四边形面积最大。

两个等式，两边相乘得：

。根据托勒密逆定理，这表示当四边形内接于圆时，取到最大面积，最大面积为

其中

。

一般的N边形？

问题：对于给定边长a1、a2、a3、...、an的n边形，其最大面积是否能够使用其边长解析表达？

• 边长给定的一切多边形中，存在可内接于圆的多边形。
• 最大面积是存在的，这就是克拉美定理。
• 由此可以确定这个圆的半径也是确定的，和边长什么关系呢？

各位大神，有没有人能给出确定答案：边长给定的多边形，最大面积、内接圆半径是否可以由其边长表示？

附录

柯西不等式：

最常见的一种形式：

• 柯西不等式的使用范围很广，形式多样，是一非常重要的工具
• 论证方法很多，你可以尝试归纳

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。逆定理也成立。

• 四边形内接于圆的充要条件为：两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。

克拉美定理：给定边长

的一切n边形中，能内接于圆的面积最大。

欲知多边形可内接于圆和克拉美定理的论证，以及多边形最大面积公式，且听下回分解。

一般人我不告诉他：更多有趣、有料的数学内容，就在公众号“究尽数学”和“究尽中学数学”。

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