第八节函数的连续性与间断点（第一章函数极限与连续）

考点梳理：

函数的概念及表示方法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，并会求极限。

第一节：

1、函数的概念：

定义：设x,y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的法则总有宇哥确定的数值y和它对应，则称y是x的函数，记为：

y=f(x),x∈D

其中x成为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域，记作Df，即Df=D。

函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的至于，记作Rf或f(D)，即

Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈D}

【注】 函数有两个基本要素：定义域与对应规则（依赖关系）。当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们就是同一个函数。

2、复合函数定义：太基本的概念了，在这儿就先不说了

【注】 并不是所有的函数都可以符合，如：y=f(u)=lnu,u=g(x)=sinx-1，这是因为g的值域是[-2，0]，f的定义域是(0， ∞)，二者交集为空。

3、反函数定义：太基本的概念了，在这儿就先不说了

【注】 1.并不是每个函数都有反函数

2.单调函数一定有反函数，但是有反函数的函数并不一定单调

3.有时也将y=f(x)的反函数x=f^(-1)(y)写成y=f^(-1)(x)

4.f^(-1)[f(x)]=x,f[f^(-1)(x)]=x

4.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数，由常数和基本初等函数经过有限次运算与复合所得函数可以用一个式子表明的函数称为初等函数。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性与有界性

【注】1.奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称（做题要注重数学的对称美）

2.奇（偶） /-奇（偶）=奇（偶）函数；奇（偶）*奇（偶）=偶函数；积函数*积函数=偶函数

第二节

一、极限的概念：

1、数列极限的定义：

2、函数极限的定义：

二、极限的性质：

1、有界性：（数列与函数）

2、保号性：已知极限保数列/已知数列符号保极限

3、极限与无穷小之间的关系

三、极限的存在准则

1. 夹逼准则：
2. 单调有界准则：

四、无穷小量

1. 无穷小量的概念
2. 无穷小的比较：高阶-0；低阶-∞；同阶-C不等于0；等价-1；无穷小的阶
3. 无穷小的性质：有限个无穷小的和仍然是无穷小

有限个无穷小的积仍然是无穷小

无穷小量与有界量的积仍然是无穷小

五、无穷大量

1. 无穷大量的概念
2. 无穷大的比较：当x趋向于 ∞时：ln^(a)x<<x^b<<a^x其中 a>0,b>0,a>1
3. 无穷大量的性质：
1. 两个无穷大量的积仍然为无穷大量
2. 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
4. 无穷大量与无界变量的关系：无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量。

求极限的方法：

1. 利用基本极限求极限
2. 利用等价无穷小代换求极限（记住各种代换关系）
3. 利用有理运算法则求极限
4. 利用洛必达法则求极限
5. 利用泰勒公式求极限
6. 利用夹逼准则求极限（多用于n项和求极限）
7. 利用单调有界准则求极限
8. 利用定积分定义求极限

整章的思维导图

当初我学数分的时候迷迷糊糊，考试怎么过的都不知道，这样把大体框架列出来就清楚很多了，当时我求极限只会一个洛必达，但是现在看洛必达的限制条件还是比较多的，当初怎么就不会等价无穷小代换和泰勒公式呢，要不怎么说不得到个九十分了，等价无穷小可以推广，从乘除到加减，满足条件就可以使用，如果需要知道的话可以留言或者评论一下，下次做一期单独的求极限。

（第一遍复习，知识体系尚不完整，如有问题欢迎指出，今后会不断完善）