微积分的本质推导公式（微积分笔记斯托克斯公式的物理意义）
龚昇教授的《简明微积分》中说，“……Stokes公式是微积分的顶峰，从理论上讲，这是微积分的终点……”。注：这里的Stokes公式指的是广义的统一公式。
龚昇教授为什么将这是微积分的顶峰，或者终点，书里没有讲。我这里狗尾续貂一下。
本帖讨论斯托克斯Stokes公式的物理意义，结合之前的讨论Guass公式的物理意义的帖子。完整地说明宇宙的守恒性。
我觉得，如果微积分揭示了宇宙中的一个最基础的规律，或者公理（守恒律也好，光速不变也好，任意规律），那么微积分中的一个集大成的公式，就可以说是微积分的顶峰和终点了。因为这个公式揭示了宇宙大法，能有什么比揭示大法更峰的！
讨论Stokes公式之前，先回顾一下标量和矢量。因为Guass公式右边是对一个数量场的积分，所以整个公式比较好理解。而Stokes公式是对矢量场的积分。所以要先看看这两种量和两个类型的场有啥纠葛。
出于某种我不知道的原因，数学和物理学连起来（不知道谁主导）弄出了矢量，说是带方向的数量。于是，物理中，有了数量场和矢量场。再于是，有了两种场之间转换的计算：
- 数量场->矢量场的运算：梯度
- 矢量场->数量场的运算：散度；
- 矢量场->矢量场的运算：旋度；
- 数量场->数量场的运算：没有！
在这个宇宙中，数量场到数量场是没有关系或者运算的，或者说，人民群众根本不关心一个数量场到另一个数量场。
从一个本末倒置的原因来讲，三阶外微分形式的外微分算子运算始终为0，即，即便你对一个数量场求类似的求导运算，得到的数量场也是处处为0。
这点看龚昇教授的《简明微积分》，非常好的微积分教材。
更严格地讲，是三维矢量（即一阶张量）限制了这个额外的度（数量场到数量场的这个度）的产生，如果考察更多维的空间，或者即便在三维空间中，放开对张量的一阶限制，应该会产生额外的度。这是我个人猜想~~~
接下去就是Stokes公式了
公式右边是一个矢量场的旋度，这里称它是一个涡流场（不要计较这个词的严格定义）。和Gauss对比，应该能想象这个涡流场是守恒的。
这里先岔开一下。旋度这个概念比较难搞。微积分中的“三度”——梯度、散度、旋度。前两者的含义是比较直观的，因为它们都和数量发生关系。比较难理解的是旋度，因为旋度只和矢量发生关系，它跟数量没有任何关系。而矢量的这个概念，没有物理概念的支撑，是很抽象，很难理解的。而我们最熟悉的物理量“力”，在旋度这个运算上，又会显得有些不好搞。我是直到看麦克斯韦方程，用电磁场相互关系，才比较好的理解了旋度。电场和磁场本身就是矢量场，两者相互关系，又是旋度这个运算可以描述的。这样麦克斯韦方程来思考Stokes公式，就比较容易思考其物理意义。
（岔开完毕）
结合麦克斯韦的电磁关系部分，
麦克斯韦的电磁关系方程可以化为Stokes公式的表述形式。或者符合逻辑的说法是，Stokes公式符合电磁关系方程。（我更偏向后者的说法，因为我总觉得，物理是因，数学是果。）
Stokes公式左边是表示矢量场的环流效果，代表将产生一个涡流场。右边表示这个涡流场的源（即另一个矢量场，数量场是不可能产生涡流的）。也就是说，如果一个矢量场能造成一个涡流场（即环流量不为0的矢量场），则矢量场损失的量必然是涡流场的量。把麦克斯韦方程这么写就清楚很多了：
如果一个区域内的磁场在持续“失去”，则必然在产生一个涡旋电场。失去的那些量，在该区域边界计算的涡旋电场的量，一致。也就是磁场变成了电场。反过来也一样，如果区域内一个电场在持续失去，则必然在其边界制造了一个涡旋磁场，且两者量相等，（麦克斯韦第四个方程描述）。
这就是Stokes公式说明的。由于Stokes公式的右边是一个矢量的积分。所以它说明的守恒律是矢量场的守恒。于是，我有了关于矢量场守恒的猜想。
矢量场守恒猜想：如果一个矢量场变化产生一个涡型场，且这个矢量场和及其涡型场符合Stokes公式的描述，则这个矢量场必然守恒。这就是Stokes公式的矢量守恒猜想。
还有一个Green公式，由于它是Stokes公式的二维化，所以可以看成是Stokes公式的特例。不作具体分析了。
再岔开一下。
还有一篇帖子，微信上的yubr网友的，《如何理解麦克斯韦方程中的不对称性》，里面说到第三个方程的负号的问题。说的也非常好！推导过程很严谨！
岔开完毕。我们就《如何理解麦克斯韦方程中的不对称性》中负号性可以这么思考。
如果为了“漂亮”，麦克斯韦方程可以写成（下称“漂亮形式”）
yubr网友从波动方程出发，说明如果这样，则会破坏能量守恒。
我从Stokes公式的角度，直观一点分析，不作任何公式推导。
如果麦克斯韦方程写成漂亮形式，则说明，如果磁场在变大，则同时在其边界产生一个涡旋电场。那么问题就来了，磁场的能量的增多，怎么涡旋电场也有能量了？这明显违反了能量守恒，或者说磁通量守恒。不可能说你一方面增大了磁通量，另一方面又要对外有一个涡旋电场能够作功。
从Stokes公式方面，也可以推导。如果麦克斯韦写成上面那个样子，那么Stokes恐怕必须是：
在矢量看来，我们常用的右手系坐标不能推导出矢量外积，就是矢量的外积跟定义其上的坐标系不对称了，一个右手，一个左手了，总之弄来弄去就是差一个负号！深究下去，整个数学界的运算都将差一个负号！完全不能自洽！
这不仅仅是差一个负号的问题~~~内裤内穿和内裤外穿，是两个星球的人！
注一注哈，矢量外积的右手法则是右手坐标系的必然结果，具体看龚昇教授的《简明微积分》。总之矢量外积的方向是其定义的坐标系的方向，必然是一致的。
所以说，能量守恒导致了麦克斯韦方程中的负号，而在数学中，能量守恒使得Stokes方程有这样的表达，Stokes公式和麦克斯韦方程，通过矢量外积的定义，又完美地相应证。一个是能量守恒的电磁表现，另一个是能量守恒的数学表现。
所以你觉得麦克斯韦的漂亮形式是一个负号的问题，但其实你想破坏的是能量守恒这个大问题！
脑洞一点，如果有一天你穿越到了一个平行宇宙，捡起一本物理书，发现麦克斯韦方程里没有这个负号（很漂亮了），那你就要注意了，这个平行宇宙必然存在矢量不守恒。
总结一下，这就是Gauss公式和Stokes公式告诉我们的。它们各自代表着宇宙的守恒律。
- 凡是能有Gauss公式关系的数量场，必守恒
- 凡是能有Stokes公式关系的矢量场，必守恒
到此，微积分完成了它的一个使命，即揭示了宇宙的守恒大法。当然，换个角度，守恒大法也许是每个科学家所要坚持的，或者是信仰。我想，大概也正是这个揭示，龚昇教授所以说统一公式是微积分的终点。
矢量外积交换中的负号性，微分外积交换中的负号性，甚至是否存在超距作用。都可从统一公式中思考一二。这里先挖个坑
- 外积的负号源于一维坐标的负向性，或者说减法的封闭性要求，背后我觉得还是守恒律
- 超距作用么，你要么坚守守恒律，要么承认超距，总之不能都选，这在统一公式上也有表现。
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