微积分的本质推导公式(微积分笔记斯托克斯公式的物理意义)

龚昇教授的《简明微积分》中说,“……Stokes公式是微积分的顶峰,从理论上讲,这是微积分的终点……”。注:这里的Stokes公式指的是广义的统一公式。

龚昇教授为什么将这是微积分的顶峰,或者终点,书里没有讲。我这里狗尾续貂一下。

本帖讨论斯托克斯Stokes公式的物理意义,结合之前的讨论Guass公式的物理意义的帖子。完整地说明宇宙的守恒性。

我觉得,如果微积分揭示了宇宙中的一个最基础的规律,或者公理(守恒律也好,光速不变也好,任意规律),那么微积分中的一个集大成的公式,就可以说是微积分的顶峰和终点了。因为这个公式揭示了宇宙大法,能有什么比揭示大法更峰的!


讨论Stokes公式之前,先回顾一下标量和矢量。因为Guass公式右边是对一个数量场的积分,所以整个公式比较好理解。而Stokes公式是对矢量场的积分。所以要先看看这两种量和两个类型的场有啥纠葛。

出于某种我不知道的原因,数学和物理学连起来(不知道谁主导)弄出了矢量,说是带方向的数量。于是,物理中,有了数量场和矢量场。再于是,有了两种场之间转换的计算:

  • 数量场->矢量场的运算:梯度
  • 矢量场->数量场的运算:散度;
  • 矢量场->矢量场的运算:旋度;
  • 数量场->数量场的运算:没有!

在这个宇宙中,数量场到数量场是没有关系或者运算的,或者说,人民群众根本不关心一个数量场到另一个数量场。

从一个本末倒置的原因来讲,三阶外微分形式的外微分算子运算始终为0,即,即便你对一个数量场求类似的求导运算,得到的数量场也是处处为0。

这点看龚昇教授的《简明微积分》,非常好的微积分教材。

更严格地讲,是三维矢量(即一阶张量)限制了这个额外的度(数量场到数量场的这个度)的产生,如果考察更多维的空间,或者即便在三维空间中,放开对张量的一阶限制,应该会产生额外的度。这是我个人猜想~~~


接下去就是Stokes公式了

微积分的本质推导公式(微积分笔记斯托克斯公式的物理意义)(1)

公式右边是一个矢量场的旋度,这里称它是一个涡流场(不要计较这个词的严格定义)。和Gauss对比,应该能想象这个涡流场是守恒的。


这里先岔开一下。旋度这个概念比较难搞。微积分中的“三度”——梯度、散度、旋度。前两者的含义是比较直观的,因为它们都和数量发生关系。比较难理解的是旋度,因为旋度只和矢量发生关系,它跟数量没有任何关系。而矢量的这个概念,没有物理概念的支撑,是很抽象,很难理解的。而我们最熟悉的物理量“力”,在旋度这个运算上,又会显得有些不好搞。我是直到看麦克斯韦方程,用电磁场相互关系,才比较好的理解了旋度。电场和磁场本身就是矢量场,两者相互关系,又是旋度这个运算可以描述的。这样麦克斯韦方程来思考Stokes公式,就比较容易思考其物理意义。

(岔开完毕)


结合麦克斯韦的电磁关系部分,

微积分的本质推导公式(微积分笔记斯托克斯公式的物理意义)(2)

麦克斯韦的电磁关系方程可以化为Stokes公式的表述形式。或者符合逻辑的说法是,Stokes公式符合电磁关系方程。(我更偏向后者的说法,因为我总觉得,物理是因,数学是果。)

Stokes公式左边是表示矢量场的环流效果,代表将产生一个涡流场。右边表示这个涡流场的源(即另一个矢量场,数量场是不可能产生涡流的)。也就是说,如果一个矢量场能造成一个涡流场(即环流量不为0的矢量场),则矢量场损失的量必然是涡流场的量。把麦克斯韦方程这么写就清楚很多了:

微积分的本质推导公式(微积分笔记斯托克斯公式的物理意义)(3)

如果一个区域内的磁场在持续“失去”,则必然在产生一个涡旋电场。失去的那些量,在该区域边界计算的涡旋电场的量,一致。也就是磁场变成了电场。反过来也一样,如果区域内一个电场在持续失去,则必然在其边界制造了一个涡旋磁场,且两者量相等,(麦克斯韦第四个方程描述)。

这就是Stokes公式说明的。由于Stokes公式的右边是一个矢量的积分。所以它说明的守恒律是矢量场的守恒。于是,我有了关于矢量场守恒的猜想。

矢量场守恒猜想:如果一个矢量场变化产生一个涡型场,且这个矢量场和及其涡型场符合Stokes公式的描述,则这个矢量场必然守恒。这就是Stokes公式的矢量守恒猜想。

还有一个Green公式,由于它是Stokes公式的二维化,所以可以看成是Stokes公式的特例。不作具体分析了。


再岔开一下。

介绍一下,@长尾科技有几篇帖子说麦克斯韦方程的,非常好!

还有一篇帖子,微信上的yubr网友的,《如何理解麦克斯韦方程中的不对称性》,里面说到第三个方程的负号的问题。说的也非常好!推导过程很严谨!


岔开完毕。我们就《如何理解麦克斯韦方程中的不对称性》中负号性可以这么思考。

如果为了“漂亮”,麦克斯韦方程可以写成(下称“漂亮形式”)

微积分的本质推导公式(微积分笔记斯托克斯公式的物理意义)(4)

yubr网友从波动方程出发,说明如果这样,则会破坏能量守恒。

我从Stokes公式的角度,直观一点分析,不作任何公式推导。

如果麦克斯韦方程写成漂亮形式,则说明,如果磁场在变大,则同时在其边界产生一个涡旋电场。那么问题就来了,磁场的能量的增多,怎么涡旋电场也有能量了?这明显违反了能量守恒,或者说磁通量守恒。不可能说你一方面增大了磁通量,另一方面又要对外有一个涡旋电场能够作功。

从Stokes公式方面,也可以推导。如果麦克斯韦写成上面那个样子,那么Stokes恐怕必须是:

微积分的本质推导公式(微积分笔记斯托克斯公式的物理意义)(5)

在矢量看来,我们常用的右手系坐标不能推导出矢量外积,就是矢量的外积跟定义其上的坐标系不对称了,一个右手,一个左手了,总之弄来弄去就是差一个负号!深究下去,整个数学界的运算都将差一个负号!完全不能自洽!

这不仅仅是差一个负号的问题~~~内裤内穿和内裤外穿,是两个星球的人!

注一注哈,矢量外积的右手法则是右手坐标系的必然结果,具体看龚昇教授的《简明微积分》。总之矢量外积的方向是其定义的坐标系的方向,必然是一致的。

所以说,能量守恒导致了麦克斯韦方程中的负号,而在数学中,能量守恒使得Stokes方程有这样的表达,Stokes公式和麦克斯韦方程,通过矢量外积的定义,又完美地相应证。一个是能量守恒的电磁表现,另一个是能量守恒的数学表现。

所以你觉得麦克斯韦的漂亮形式是一个负号的问题,但其实你想破坏的是能量守恒这个大问题!

脑洞一点,如果有一天你穿越到了一个平行宇宙,捡起一本物理书,发现麦克斯韦方程里没有这个负号(很漂亮了),那你就要注意了,这个平行宇宙必然存在矢量不守恒。


总结一下,这就是Gauss公式和Stokes公式告诉我们的。它们各自代表着宇宙的守恒律。

  • 凡是能有Gauss公式关系的数量场,必守恒
  • 凡是能有Stokes公式关系的矢量场,必守恒

到此,微积分完成了它的一个使命,即揭示了宇宙的守恒大法。当然,换个角度,守恒大法也许是每个科学家所要坚持的,或者是信仰。我想,大概也正是这个揭示,龚昇教授所以说统一公式是微积分的终点。

矢量外积交换中的负号性,微分外积交换中的负号性,甚至是否存在超距作用。都可从统一公式中思考一二。这里先挖个坑

  • 外积的负号源于一维坐标的负向性,或者说减法的封闭性要求,背后我觉得还是守恒律
  • 超距作用么,你要么坚守守恒律,要么承认超距,总之不能都选,这在统一公式上也有表现。
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