数学高中不等式有什么知识点(与不等式相关的概念)
一、“同向相加”与“同向相乘”
两个不等式“相加”或“相乘”,要注意施行的前提条件,两个不等式“相加”,只要同向就可以,如
,
,则
。而两个不等式“相乘”,不仅要求同向,而且两端还必须同号,如
,
,则
,若
,
,则
。切记:同向不等式可以相加,不能相减;同向正值(负值)不等式可以相乘,不能相除。
二、不等式中的“分类讨论”与“分段讨论”
解不等式时的讨论可分为两种类型:分类讨论和分段讨论。当讨论的对象与求解的对象不一致时,称为分类讨论,它主要针对不等式中的参数讨论:当讨论的对象与求解的对象一致时,称为分段讨论,它主要针对不等式中的未知数讨论。因此对这两种类型的讨论结果的处理也不一样,分类讨论的结果应分情况进行分别表达,而分段讨论则要求各分段内部先求交集(即讨论对象的范围与求解出的范围求交集),然后再对所有各段的结果求并集,即为所求解的结果。
例如:在解不等式
时,对x分三段讨论,每段的结果是:(1)当
时,
;(2)当
时,
;(3)当
时,恒成立。最后的结果应为其并集,即为
。
又如:在解关于x的不等式
时,对参数分两类讨论,分类的结果是:(1)
时,
;(2)
时,
。
三、均值定理“证明不等式”与“求函数最值”
利用均值定理
证明不等式时,只需满足一个条件,即
。但利用均值定理求函数的最值时,要满足通常所说的“一正、二定、三相等”。
例如:当
时,(1)证明
;(2)求函数
的最小值。(1)可以直接利用均值定理证明;而(2)求最小值时,
中的等号不成立,因此2不是最小值,事实上,因为,所以
。当且仅当
,且
,取等号,因此
的最小值为
。
四、“有解”与“对一切恒成立”
借助数轴可知函数
的值域为
,“不等式有解”等价于“的最小值”,因此,只要求出
的最小值即可,即
。而“对一切恒成立”等价于“的最大值”,只要求出的最大值即可,即
。
例如:不等式
有解时,实数的范围是
;而不等式对一切恒成立时,实数的取值范围是
。
五、“差值比较法”与“商值比较法”
差值比较法与商值比较法是比较法的两种基本形式,也是比较实数大小的一种最根本方法。要正确使用这两种方法,就必须清楚这两种方法的应用原理。
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质“
;
”;商值比较法的理论依据是“若
且
;若
,且
”。两者不同的是:差值比较法可以针对任意的两个数(或式子);商值比较法针对两个正实数(或式子)。
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,
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