哪一些为无理数（最讲理的无理数e）

e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。要想讲清楚它，真的不容易，大家都记都高等数学里的那个重要极限吧，就是

你知道它里面蕴含着我们身边哪些实用的规律吗？

e 也是自然对数的底，什么叫自然对数？ 下面我们就从自然讲起。

一、自然与自然科学的诞生

我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。

但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。

其中最重要的原因是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用自然来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。

人们在解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。直到公元前624年，泰勒斯的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。

泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”！其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。

尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但这是一种可靠的、可进化的理论体系。后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了“自然”的概念，“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了逻各斯（英语：Logos）的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos（算法）创造了单词Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号log。

古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。毕达哥拉斯就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，毕达哥拉斯主义走向了科学的反面，成了宗教。

这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘“自然”之美，并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系，最有名的是毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）。毕达哥拉斯认为所有图形中，圆是最对称的，所以圆是最完美的图形。

古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等，都因为得益于这套思维方法，发现了大量的自然规律，成为各学科领域里开天辟地的先贤。

经过2500多年的不懈努力，终于在古希腊文明所铺就的最稳固基石上，人类建立起了现代文明的宏伟大厦。

二、自然数中也有自然

古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数（Natural number）。

但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而发明出来的，不是自然的数。

毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的第一次数学危机。后人认为毕达哥拉斯也发现了黄金分割率，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。

现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、代数数和超越数，也需要了解更复杂的运算。

三、从e的定义中我看到了钱

首先给出e的计算公式

这个公式表达了什么？

假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！

银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元

此时用公式表示你的钱为

银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元.

此时用公式表示你的钱为

假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元

此时用公式表示你的钱为

假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元.

此时用公式表示你的钱为

假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元,这个数越来越接近于e了！

此时用公式表示你的钱为

对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无

法突破的天花板，这个天花板就是什么？

联想到

所以这个天花板就是数e.

年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。

如果将年利率改为0.05,则有

如果将年利率改为2,则有

怎么样，看到这里你还会认为重要极限没有什么实际用处吗？

所以e是当增长率固定时单位时间内无限细分的增长的极限！

四、有一种增长叫自然增长

好！我们继续谈增长。

上例说明了当增长率不变时单位时间内增长的极限，如果增长率不变，那么n个单位时间后增长了多少？

设利率仍为1,显然第二年为2,第二年为4,于是n年后你的存款为2^n元，你知道这个规律意味着什么吗？

给你讲个故事：

阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，实际上若每人每天吃500g大米，则第64格的大米可供13亿人吃971904年！

这就是指数式增长的威力！指数式增长就是自然增长，是大自然最基本的规律！

为什么说指数式增长是最自然的一种增长方式？

我们存钱时有利息，第二年后把利息存进去利息再生利息，这叫复利；单细胞生物分裂后的新细胞再一段时间后也会分裂；这些都是复增长，也就是说增长的量与上一个周期新生成的增量有关，这就是指数式增长！

好，同样是指数式增长，2^n与e^n之间有什么关系？

根据前面所讲，当1年内利率不变时，将1年分割成无数多个小时间单位存取，最后的极限存款为e,所以按照同样的操作将n年也这样划分，n年后将得到的极限存款为e^n元!

推广到更一般的情况：

增长率为变是什么意思？前面讨论的是离散的情况，下面讨论连续的情况：

设在时刻的初始量为f(0),t时刻的量为f(t),自然增长就是增长率与保有量成正比，即

由此推出其中一个解为 f(t)=e^(kt) , 当 k=1 时， f(t)=e^t , 这就是 e 所代表的自然增长规律中无限内分的一个极限值。

五、利息的逆运算

还是从一个虚构的故事开始：

有一土豪要去银行存入大额存款，比如存1元。

银行经理推荐他投资理财产品，因为年利率高达100%，按照指数运算，bla bla bla……

但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间才能到10倍，100倍，1000倍？

经理有点懵，土豪不按常理出牌啊！

一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……

土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！

不愧是老板，不问过程，只问结果！

于是经理就从第1年开始算，把10年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表，如下

图：

然后再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指给土豪

土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超过预期收益，非常高兴！

经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，就是利息的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的雏形。

其实这和我们根据加法表进行减法运算、根据乘法表进行除法运算是同一个道理。

例如知道了3x7=21，就可以很快知道21/3的除法逆运算结果了。

好了，放松一下大脑，继续回来穿越历史。

六、对数发明的历史

据说4000多年前，古巴比伦时代的人们就发明对数和对数表了，但因为我没找到资料证实，只能从近代开始。

16、17世纪，英、法加入了大航海的行列，开始了美洲殖民地的开拓，远洋贸易变得日益频繁。那时的人们已经知道地球是球形，大海上船只的位置靠经纬度来确定。

纬度测定很容易，几千年前人们就知道，通过测量北极星的仰角，可以估算出船已经在南北方向航行了多远。但是经度的测量不是一般的困难。在茫茫的大洋上，如果无法准确测定船只的经度，代价会极为高昂。

1707年，四艘英国战舰击败法国地中海舰队回航，10多天的浓雾让舰队完全迷失，因为算错经度，舰队触礁，两千名士兵死亡。1714年英国悬赏2万英镑（相当于现代的2000多万人民币），寻求精确测得经度的方法。

对于商人来说，与市场上的同类对手竞争，谁的航海定位越准确，意味着风险越低、利润越高。

对海军也是，同样的战舰，定位越准确，航行的时间越短，在战争中速度往往是决胜的关键。

经度的精确测量问题直到18世纪才得到有效解决，这归功于约翰·哈里森发明了高精度机械钟表。这段历史还被拍成了电影和记录片，推荐一本精彩的书《经度：一个孤独的天才解决他所处时代最大难题的真实故事》和罗辑思维的节目《击溃牛顿的钟表匠》。

但是在哈里森之前的数百年里，人们只能求助于天文学家来解决，因为天空就是人们最早、最精确的钟表，太阳、月亮、星星等天体就是上面的表针，读懂这个钟表，就可以知道时间和经度了。

天文学家观测天体，计算出运行的轨道，来预测未来几年每个时间点上天体所在的精确位置，英国天文学家以格林尼治天文台的时间为基准，再把时间和天体位置整理成详细的表格，公开出版发行。这套星表可不便宜，星表加上六分仪售价约20英镑，相当于现在2万人民币，即便这样也经常脱销。海上的人用六分仪测量天体，再去查那本高价天文表格，求得当地时间和格林尼治时间，知道两地的时间差，就知道现在的经度了。

16世纪和17世纪之交，天文学家第谷和开普勒通过大量的观测，绘制了当时最精确的星图，解决了天文学家天文数据精度不足的难题。有了高精度的星图，全欧洲的数学家开始了天体轨道的计算竞赛，很多科学家也因此获得了商业和学术上的丰厚回报。那时的天文学家、数学家可不是像现代这么冷门，更像当今那些IT、金融等热门行业里的精英一样，享受着人人羡慕的不菲高薪。

顺便说一下，日心说之所以能取代地心说，也是因为日心说模型更简洁，不仅计算起来更简单，而且预测非常准确，可以很好的解释行星逆行等现象，这是地心说完全做不到的。

即使这样，要想预测天体的运行，其计算也是极其繁琐和浩瀚的，在解决计算问题时，数学家们发明了大量崭新的数学理论和计算工具，包括对数、解析几何、微积分和牛顿力学等伟大的创新。可以说天文学是当时科学界最闪亮的宝石，是当时的高科技热门产业。

其中，对数的发明人就是約翰·纳皮尔

纳皮尔是天文学家、数学家，在计算轨道数据时，也被浩瀚的计算量所折磨。

“看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。”--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614）

但纳皮尔不是一般人，不想像IT民工一样苦逼的重复劳动，于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。

为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：

第1行是自然数，他们是等差的；第2行是2的倍数，他们是等比的；

要计算第2行的等比数列中任意两个数的乘积，例如16x64；先到第1行的等差数列，寻找对应的数，16对应4，64对应6；然后做加法，4 6=10，再查找10所对应等比数列的1024；得到计算结果就是16x64=1024

借助这个表，仅靠心算就可以用4 6=10的加法，完成麻烦的16×64乘法。

同样也可以进行除法变减法的运算，把1024/128，变为10-7=3，对应结果为8。

把这个表变的更长，就可以计算数值更大的乘法，这个表就是极度简化的对数表。

以上仅仅是对数的优点之一，对数的易于计算，大大减少了数学家、天文学家的计算量。

拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”

伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”

如果把对数表的数列设计成尺子，就成了计算尺

把直尺掰弯了就成了柱状算尺，像不像风水大师的道具？

七、美妙的螺线

在上面的部分中，指数函数e^x的美并没有真正的体现出来。让我们换一个视角看，你一定会大吃一惊。

我们知道二维坐标系除了直角坐标系外，还有一种常用的是极坐标系，如下图

极坐标，e^θ，θ是点与极轴的夹角。这时的指数函数就会变成下图的样子，这个螺线叫对数螺线（Logarithmic spiral），又叫等角螺线。

之所以叫等角螺线，是因为在极坐标中，螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角，如下图所示，蓝线每次穿过射线时，其夹角是固定的，也就是等角，我们在后面会用到这个等角特性。

斐波那契螺线

斐波那契数列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这样的数列。

其特点是前两个数加起来就是下一个数，例如

1 1=2

1 2=3

2 3=5

……

34 55=89

……

用这些数画出来的半圆，可以拼接成下面的螺线形状，这就是斐波那契螺线

这个数列还和黄金比例有关，例如55/34≈1.6176，接近黄金分割比例1.618，数列的数字越到后面，结果就越趋近于黄金分割这个无理数.

不过斐波那契螺线仅仅是对一种叫黄金螺线的近似，黄金螺线是一种内涵黄金分割比例的对数螺线，下图红色的才是黄金曲线，绿色的是“假黄金螺线”（斐波那契螺线），近似却不重合。

很多科学家发现对数螺线在自然界中广泛存在。从大如星系、台风，到小如花朵、海螺……宇宙中到处都是对数螺线的身影

原来e以这种特殊的方式隐藏在自然之中。

为什么自然界中存在这么多的对数螺线呢？

因为对数螺线具有等角性，受环境影响，很多直线运动会转变为等角螺线运动。

我们以飞蛾扑火为例

亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。

但自从人类学会了使用火，这些人造光源因为很近，光线成中心放射线状，可怜的蛾子就开始倒霉了。

蛾子还以为按照与光线的固定夹角飞行就是直线运动，结果越飞越坑爹，飞成了等角螺线，最后飞到火里去了，这种现象还被人类称为昆虫的正趋光性。

结论

历史上，'自然'是一种划时代的思维方法，自然还有和谐、完美的内涵,随着利息、对数、指数的发明，人们发现了e的存在; 1元存1年，在年利率100%下，无穷次的利滚利就会达到e,大自然中存在着大量的自然增长，其增长规律可用y’=ky来表示，大自然中到处都有对数螺线的身影,数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式,把e冠以自然底数、自然常数之名，把e为底数的对数称为自然对数，是数学家们用自己的方式对e所进行的美学评价。

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