阿基米德三角形经典例题（抛物线中的阿基米德三角形知识篇）

下期会更新抛物线中的阿基米德三角形应用篇

这虽然是一个老知识，但内容和圆锥曲线中的切线切点弦问题以及极点极线问题都有关系，通过该篇内容可以将这三块内容串在一起互相印证辅助理解，阅读之前建议先阅读以下链接：

思维训练37.抛物线中的切线问题

圆锥曲线中的双切线问题整理

圆锥曲线中与极点极线相关的基础知识

答疑2022年全国乙卷圆锥曲线大题中的极点极线相关知识

至于为什么叫阿基米德三角形就不再叙述了，这个三角形也并非只能应用在抛物线中，椭圆和双曲线也可使用，但由于其中涉及切线以及二元求导，所以出题时通常以抛物线为主，而且以函数形式的抛物线x²=2py为主，下文中的结论也均以这种形式表述。

阿基米德三角形即在圆锥曲线外取一点P，从该点作圆锥曲线的两条切线，设切点为A,B,研究的对象就是△PAB，如果按照极点极线的角度分析，则AB所在直线就是点P对应的极线，所以如果P点为定点，则AB所在直线为定直线，若AB内有一点Q，根据配极原理，P点的极线经过点Q，则点Q对应的极线也经过点P，所以若AB过定点Q时，点P的轨迹(直线)可直接写出，若用高中切线以及切点弦的思想去理解，里面会用到方程的思想，如果不熟悉，还是建议阅读上述链接1，下面给出阿基米德三角形中常用常见的结论。

性质1中切线PA,PB方程的证明在上面第一条链接中，考试时无需证明直接用即可。

注意上述性质2中点P坐标的求法，在下面的性质中会多次用到，关于N点处的切线和AB平行这条结论可以用导数理解，因为M,N两点的横坐标相同，若将抛物线x²=2py向上平移，则M点会在平移之后的抛物线上，平移前后的两条抛物线形态相同，导数也相同，所以M,N两点处的导数值相同，

上述性质3中是用切点弦方程的思想证明的，点P的极线是AB，Q在AB上，所以Q点对应的极线经过点P，因此确定的Q点对应确定的过点P的直线方程，反之亦然，下面的性质4就不再解释了，注意点和线的转化关系即可。

这是很早之前某年的高考真题，证明两角相等可利用向量夹角余弦值相等。

结合性质3，若知道AB内恒过的定点即可求出点P所在的轨迹，这条轨迹并不一定与x轴平行，只有明确知道AB恒过的定点在y轴上才能说明P点所在的直线为与y轴垂直的直线，性质7中，若AB长度为定值，可将AB看作是过y轴上某定点的直线，根据点与直线的相关内容，可知点P到AB距离最大时，P点与该定点的连线与AB所在直线垂直，此时的情况为AB斜率为零。

第8中是之前提到的焦点弦问题中的结论，若动直线AB过焦点，则A,B两点处的切线相交于准线上，且AP⊥BP，以AB为直径的圆与准线相切切点为P点，三角形PAB底边长为AB，AB最小时为通径，对应的高即为焦准距，所以最小值为p²，结论7和8中的两个面积最值最好用几何图形去理解，不要去硬记。

关于阿基米德三角形还有其他不常见也不常用的结论，有兴趣可以自己去查，这里就不给出了，阿基米德三角形与高考的结合一般以动点定点动直线定直线切点弦等角度出发，本身难度不大，下期给出阿基米德三角形的应用部分。