问题化的深度学习与实践（基于深度思考的解题）

数学解题就是在弄清题意的基础上，根据题目的条件和结论，熟练地运用数学基础知识与基本技能，进行正确的推理、运算，直至求得题目正确答案的过程。

对数学教学而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且也要把“解题活动”作为对象，把学习数学基础知识、熟练数学基本技能、学会“数学的思考方式”、促进“人的发展”作为目标。教学中的解题更多的是一个数学学习的过程，是一个再创造或再发现的过程，通过解题，学习数学知识；通过解题，学会“数学的思考方式”；通过解题，提升分析问题、解决问题的能力；通过解题，检测、评价数学学习情况。

01做题的初心

我们都在做无效又不敢不做的工作——刷题,话题太沉重，作为老师很想谈及做题的目的是什么这个问题。做的目的，当然有一部分是为了得到答案，但这不应该是做题的初衷，或者说，做题的初心。

做题的初心应该是通过做题去掌握我们所学的知识。在中学阶段，我们的学习跟应用可能还有一段距离，最大的应用可能就是做题，但是做题和学习知识是一件事的两个方面，如果我们不能很好地理解这里面的关系，我们很难将知识学习好。

数学毕竟是一门偏重于逻辑和运算的学科，刷一定数量的题是必要的，但是我们不是毫无目的的刷题，刷题过程中，我们要对解题过程进行反思：做题——对答案——看解析——总结归纳知识点及解题方法——通过一定量的做题总结出题套路，不要做死题，归纳总结才是王道！

首先，数学审题是解题第一要务。

审题错误可能就会让思考方向偏了，即使你懂得再多，也无济于事。当然，如果你要拿高分，就必须会检查方法。

例1.问题背景

如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．

尝试应用

如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求

的值．

拓展创新

如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．

【分析】问题背景

由等边三角形的性质得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，证得△ACD≌△AEB（SAS），由旋转的概念可得出答案；

尝试应用

证明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性质得出BF＝DF，则可得出答案；

拓展创新

过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE的长，则可得出答案．

【解答】问题背景

解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，

∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，

∴∠BAD ∠BAC＝∠CAE ∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAE，

∴△ACD≌△AEB（SAS），

∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，

即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；

尝试应用

∵△ACD和△ABE都是等边三角形，

∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，

∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，

∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，

∵∠ADC＝∠ACD＝60°，

∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，

∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，

设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，

∴；

拓展创新

∵∠ACB＝90°，

∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，

∴CD＝AB＝1，

如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，

∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，

∴∠PAC＝90°，PA＝AC，

∵∠EAD＝90°，∴∠PAE＝∠CAD，

∴△CAD≌△PAE（SAS），∴PE＝CD＝1，

∵AB＝2，AE＝AD＝1，

∴BE＝，

∴BP≤BE PE＝，

∴BP的最大值为．

其次，完成一个题目只是一个开始，我们还要去回顾题目，去总结归纳。

总结归纳除了知识点之外，更重要的是自己的一些做题习惯和做题方法是否恰当。

如果在做题过程中发现自己的思维漏洞、解题恶习、知识漏洞或者是不成体系等问题，这就是给我们精进的机会，每日精进不是一句空话，需要我们在不断实践之中提升。

在数学学习过程中，我认为对题目的深度反思总结是最重要的方法，好的反思总结方可以让你举一反三，以一敌百，做一题胜过刷题百题千题。

可以说，解题后的反思有利于激活数学认知，并生长相关数学思维. 一方面，通过解题反思，探究解题错误的发生以及解法的发现过程，理清解题规律，理解解题关键，积累更多的解题经验；另一方面，对问题进行宏观上的进一步认识和理解，透过现象看本质，对问题进行必要的拓展和延伸，以使相关解题策略内化为个体后续解题自发的知识和能力.

第三，解题时多关注解法中涉及到的思想方法，理解清楚这些思想方法如何在解题过程中起作用，这样的解题过程才是有收获的。

否则，做题目就像狗熊掰玉米一样，辛辛苦苦地掰了很多玉米，但掰了又扔，到最后手上也没剩几个玉米。

数学思想的培养离不开数学语言，数学概念必须从现实现象中抽象出来，教师引导学生通过观察、比较、分析、概括、进而抽象形成数学概念或定理。

引导学生理解题目，寻找题感，弄清知识、定理的来龙去脉，有了见识的基础知识和融会贯通的思想方法，数学思维才能很快的应用于数学问题的解决中。

所以，每做一道题，特别是有一定难度的题目，做完以后都要像下棋那样进行“复盘”。很多时候，我们从“复盘”中得到的收获（多总结），往往比做题时大得多。

02做题目的一个重要原则

做题目的一个重要原则是“重质不重量”。多关注那些解法有代表性的题目，把解法琢磨透彻。这样的题目，做一题顶几十题。

好的题目通常是难度适中。如果太简单了，解法没有太多研究价值；如果太难了，即使把题目做出来，也没有足够的能力把解法的精髓吃透。当然，做难题本身也是很好的锻炼机会。

经常有学生会这么说：老师你的每一步我都能看懂，但是即使再给我十次机会我还是想不到会这么做，相信很多同学可能都有这种感受。

作为一名老师，如果你只告诉学生该怎么做是远远不够的，你更应该告诉学生你是如何思考的。优秀的老师不止传授给学生知识和方法，更重要的是传授给学生如何思考如何分析问题的数学思想，这样才能提高孩子的思维能力。

对于解题教学来说，教师应该 从学生的想法入手进行分析以及会遇 到哪些难以逾越的障碍，尽可能地揭示 其 背 景，使学生尽可能地做到“解 一 题 知一类”；还要把题目讲深讲透，尽可能 做到开发学生的智力……这 样 的 解 题 教 学，从 表 面 上 来 看，会花很多时间来 讲解一道题目，似乎是在浪费学生的生 命，而事实上却能使学生真正掌握这类 题 目，锻 炼 了 思 维，学得了真正的数学 知识（包括解题方法）. 无论是培养其应 考能力还是提升其数学核心素养，都是 值得的，并且这一过程也是必须经历的， 从这个意义上来说，数学教师的如此课 堂教学没有浪费学生的生命而是延长 了学生的生命！

例2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为_____；

（2）连接AC，BC，点C在⊙O上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC面积的最大值是_______．

（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，

①求出点C的坐标；

②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．

【分析】本题是圆的综合题目，考查了掌握切线的判定定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．

【解答】：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，

∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，

∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；

当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90° ∠OBA＝135°；

综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB＝OA＝，

∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图1：

此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，

∴OE＝AB＝，

∴CE＝OC OE＝3 ，

∴△ABC的面积＝CE•AB＝；

即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为 18；

（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图2：

∵OC∥AD，

∴∠COF＝∠DAO，

又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，

∴△OCF∽Rt△AOD，

∴，即，

解得：CF＝，

在Rt△OCF中，OF＝，

∴C点坐标为（﹣，）；

②直线BC是⊙O的切线．理由如下：

由①得：C（﹣，），

在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，

∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，

∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，

∵在△BOC和△AOD中，

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，

∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．

03 深度解题能带给我们什么

中学数学解题对学生的数学学习、思维培养、文化修养诸方面都有着积极的意义。

１通过解题，巩固和深化数学的基础知识与基本技能

数学与其他学科不同，数学书中有许多公式、法则、定义、定理等，都比较抽象。

这些一般都不应死记硬背，而应通过解题逐步地理解、掌握.解题的目的之一就在于通过解题，深化对相关知识、方法的理解，建立相关知识之间的内在联系。

有经验的教师有时会把一些需要学习的定理、法则、公式等编成题，引导学生进行探究，变枯燥的教条为具体生动的问题探究；为了让学生深入地理解和掌握数学的基础知识与基本技能，有经验的教师不是机械地、简单重复地提问或要求学生背诵有关的定义、定理、法则等，而往往通过丰富多彩的练习，让学生从不同的角度去体会、理解相关的定理、法则的含义、作用，也往往通过相关的题目去检验学生的理解与掌握的情况。

２通过解题，学习、领悟数学的思想方法

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证。

思想方法等，而这些思想和方法都可以在不断的解题过程中感知和体会并很好地掌握，因此从这种角度上可以说解题是学习好数学最有力的工具。

3.通过解题，培养理性的思维能力

数学是一门理性思维的学科，要学好数学必须具备一定的理性的思维能力。反过来，学习数学的过程正是培养这种理性思维能力的过程.正如培根所说：“演算使人精密，………个思维不集中的人，他可以研习数学，因为数学稍不仔细就会出错。”

解一道题的过程实际上是将脑海中的知识点进行一次系统的、有逻辑的重组，要具备辩证的思维能力，运用观察、试验、比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，分析找到解决问题的突破口，再进行推论和阐述.解一道综合性较高、知识性较强的题，不但是原有知识的巩固、综合与消化，更是一种将原有知识的提升和升华的有效途径。

简言之，就是有助于学生形成崇尚科学、善于思辨的思维习惯，而这对于学生学习数学来说是不无裨益的。

4.通过解题，获得学习数学的灵感

学好数学是要有灵感的，从心理学的角度讲灵感是由疑难面转化为顿悟的一种特殊的心理状态，这也正是思考并解出一道难度较高的题的心理状态。

一道难题的解答必须是在熟练地掌握基础知识、基本技能的前提下，并具有较强的洞察力、巧妙的构思才能解出的.解难题时的冥思苦想，思想保持极度的明确性，再加上智慧的高度锐敏性，思维过程中遇到的重大阻碍会豁然贯通而统统得到克服。

当这些极度疑难的问题突然得到解决时，思潮汹涌，浮想联翩，每每如此久而久之灵感便产生了。当然，“冰冻三尺非一日之寒”，并不是解一两道题就能学好数学的，解题是需要一定的量的，只有数量和质量同时达到，才能实现量变到质变的真正转变，才能真正获得学习数学的灵感，这是一个日积月累、长期辛苦劳作的过程。

一旦有了学习数学的灵感，学习数学也就变得相对容易了。

5.通过解题，营造学习数学的意境，培养学习数学的情趣。

王国维曾经在《人间词话》中说过人生奋斗必然要经过的三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望断天涯路”，此第一境界也；“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也；“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境界也。

我们在解难题的时候也要经过这三种境界：第一种境界是拿到这道题时茫然不知所措，不知从何下手的过程；第二种境界是苦苦思索，寻找最佳突破口，而全力以赴不懈努力的过程；第三种境界是得到最后结果的释然和欣喜，平静地体味享受的过程。

由此可见解答过程可以让我们感受到人生的哲理，不仅如此，一道好的题目还能给人以艺术体验，就像在观赏品味一件精美的艺术品，或进行诸如下棋之类的娱乐活动一样充满了情趣，数学的学习当然就不再是一件枯燥无味的苦差事了，学生学习的主观能动性无形之中便会得到加强。

6.通过解题，锻炼人的意志、品质

解题，需要从不同的侧面去尝试.当然，一次尝试未必就能完全成功，往往要一再尝试，反复多次，直至成功.“自古成功在尝试”，“失败是成功之母”.数学解题过程中，谁都不免会遇到挫折，正是解题者的百折不挠，不断尝试，才会让一个又一个难题低头.正如希尔伯特所说：“……正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、更自由的境界。”

解题，使人专心致志，“不专心致志则不得焉”。解数学题需要思想高度集中，心无旁骛，即使是常规题，也需要开动脑筋想一想有哪几条路可走？有哪一个例题可以仿效（最好能想一想有没有更好的解法）？选好解题路线之后，还应小心翼翼，在计算或推理中不可出错.有时“走错一步，满盘皆输”。

多解数学题，就不会粗心浮气，焦躁不安.正如培根所说：“演算使人精密”，“一个思维不集中的人，他可以研习数学，因为数学稍不仔细就会出错。”

总之，解题需要对数学的感悟，需要想象力，需要对掌握的数学知识灵活的应用，更需要我们不断的实践和探索，从解决各种复杂多变的问题中积累和练就“技巧”——灵活处理，随机应变。

而通过解较难的数学题目，我们能掌握更多的逻辑推理方法，这不仅能使我们更深刻地理解有关数学内容，还可以学到使问题转化以得到解决的方法、途径和依据，受到更有效的逻辑推理训练，从而培养我们观察、分析和解决问题的能力，并能理清思路进行有说服力的论断，感受到学习数学的乐趣，从而提高对数学的认识和把握能力，培养自觉学习数学的兴趣和能力。

参考文献：汤炳兴，叶红，中学数学解题学习

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