牛顿和莱布尼茨微积分的关系（莱布尼兹定理向高维微积分的推广）

接触过微积分的同学们都应该知道微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式：

这个定理表述的是，一个函数在一段区间内的积分等于另一个函数在这个区间两端函数值的差。这个定理拓展到二维空间就是格林公式：

即一个二元函数在由封闭曲线C围成的区域上的面积分等于一个向量场在该曲面边界上的线积分。格林公式更为一般的形式是

该式一般被叫做斯托克斯定理，描述的是三维空间中面积分与线积分之间的关系。而三维空间中与格林公式相对应的是高斯定理：

其所表述的是，一个三元函数在一个密闭区域内的体积分等于一个向量场在这个区域边界上的面积分。

以上这几种定理本质上都是微积分基本定理在不同维度空间中的变体，即三维的积分可转化为二维的积分，而二维的积分可转化为一维的积分，一维的积分最后转化为零维的加减。但如何将这几种定理从形式上进行统一，从而推广到更高维度的空间中呢？

我们希望的形式应该是

即如果有以下等式成立：

我们就能从形式上统一不同维度的微积分基本定理，而这其中的关键在于定义微分运算d。我们所熟知的微分运算就只有全微分，对于一个三元函数f(x,y,z)，其全微分为：

我们把等式右边称作微分形式，注意该微分形式恰好是一个函数的全微分，但更为一般的微分形式Pdx Qdy Rdz不一定能够写成一个函数的全微分。对于一般的微分形式，我们能不能进一步做微分运算呢，就如同我们刚才设想的那样？类比全微分，我们先假设微分运算d只对函数有效，对微分分量dx、dy等无效，那么

为了得到期望中的结果，我们需要定义运算dx*dx和dy*dy的结果为零，而运算dy*dx则等于－dx*dy，这样的一种运算我们把它叫做外微分，微元之间的乘积*通常用∧表示，如此就得到Pdx Qdy的外微分为

微元之间的楔积∧类似向量之间的叉积，交换次序会易号，因此同一微元之间的楔积为零。同学们可以继续验证其他微分形式的外微分。引入外微分的概念后，我们就能从形式上统一前面说的几种不同维度的微积分基本定理。

令η=F，则牛顿-莱布尼兹公式就可写成：

令η=Pdx Qdy Rdz，则斯托克斯定理就可写成：

令η=Pdy∧dz Qdz∧dx Rdx∧dy，则高斯定理就可写成：

我们称Pdx Qdy Rdz为一阶微分形式，称Pdy∧dz Qdz∧dx Rdx∧dy为二阶微分形式，称(Px Qy Rz)dx∧dy∧dz为三阶微分形式，而函数F本身则为零阶微分形式。在三维空间中，零阶的外微分是一阶微分形式，一阶的外微分是二阶微分形式，二阶的外微分是三阶微分形式，但三阶的外微分又会回到零阶，因为我们限制在了三维空间，只有在三维以上时，三阶的外微分才是四阶微分形式。

前面我们提到，微元之间的楔积运算非常类似向量之间的叉积运算，实际上外微分与矢量场微分运算之间就存在着某种对应关系，因为矢量场可以看作是一阶微分形式：

从这个角度看，标量场的梯度就对应着该标量场的一阶微分形式：

而矢量场的旋度则对应着与该矢量场等同的一阶微分形式的外微分：

矢量场的散度则对应着与该矢量场等同的二阶微分形式的外微分：

这里矢量场不用一阶微分形式而是用二阶微分形式代替，因为在三维空间中，一阶微分形式和二阶微分形式存在对偶关系：

而三阶微分形式与零阶微分形式对偶，即

我们可以如下定义对偶运算：

两次对偶就相当于恒等运算。

引入了外微分和对偶运算之后，我们就能让矢量场的微分运算变得非常简单：

因此矢量之间的叉积就等同于相应的两个一阶微分形式的楔积的对偶：

同样地，三个向量的混合积就等同于相应的三个一阶微分形式的楔积的对偶：

我们所熟知的梯度场的旋度为零、旋度是无源场其实就是：

说了这么多，那么外微分到底有什么几何意义呢？

从二维形式的斯托克斯定理来看，为了计算一个环线上的积分，我们可以将该环线不断拆分，拆分成无数个小环线的积分，每个环线之间存在重合但正好是相反的路径，因此相互抵消。这样，边界上的环线积分就转变为环线内部无数个小的环线积分的加和。每个小的环线积分可视为一个矩形微元上的环线积分（如下图所示），可以很容易计算出来：

也就是说，边界上的线积分某种程度上变成了另一种强度量的面积分：

这种强度量即单位面积内的环线积分，它表征了矢量场的旋转强度分布，也就是通常所说的旋度：

高斯定理也是同样的道理，一个封闭面上的矢量通量积分可以拆分成无数个内部小的封闭面上的矢量通量积分，而这些小的封闭面内部之间是相互重叠的，但方向是相反的，因此在累加的时候相互抵消，最终只剩下外部的面。这些小的封闭面围成一个个小的体，也就是说边界的通量积分最后转变为内部的某种强度量的体积积分，这种强度量实际上是边界通量积分的缩影（如果我们把边界通量积分除以这个边界所包围的体积，就能得到这种强度量的平均值），即边界无限缩小时单位体积的边界通量积分。它表征的是矢量场的聚散强弱分布，即通常所说的散度。

我们重新审视一下矩形微元上的环线积分过程，这一过程就相当于在做外微分运算，也就是说，外微分运算就是把一个区域做无限剖分，得到其局部区域内的结果，然后整体求和的过程，这个过程和函数的微分运算如出一辙。一个函数在一个区间两端的差值是和其在该区间内的局部变化是息息相关的，而每个局部变化都可以用微分的形式来刻画，最后，函数在区间两端的差值就变成该函数在该区间内的微分形式的积分：

对比来说，二元函数的外微分就描述了其在二维空间的局部变化细节，三元函数的外微分就描述了其在三维空间的局部变化细节。相对标量场而言，矢量场的特征就比较复杂了。矢量有疏密聚散，有曲折旋转，三维空间中的矢量场有两种微分形式，一阶微分形式的外微分就描述了矢量场在空间中曲折旋转的局部细节，二阶微分形式的外微分则描述了矢量场在空间中疏密聚散的局部细节。

我们再来看看外微分的几何表示。我们先从最熟悉的全微分入手。一个二元函数的全微分即：

其刻画了函数f在二维空间中的分布。但上面这个式子只是显式地把f沿着x方向和y方向上的变化表示出来了，而其他方向上的变化并未给出。其实我们没有必要将每个方向的变化都表示出来，因为每个方向总能用空间的一组基方向表示出来（比如这里用x和y方向作为基方向）。如果我们想要知道某个方向的变化，比如一条有向曲线L上的变化，我们只要将全微分分解到该方向就行了。曲线L可以表示成：

对其全微分，则有

前面我们说过，一阶微分形式对应着一个向量，因此这个方程实际上表示的就是曲线L的方向。下面就是将df按照这个方向进行分解。注意到该方向上的微元dl如果用dx和dy来表示，则应该是

因此

这样就能得到f在任意一个方向上的变化了。

当全微分为零时，即df=0时，它勾勒的是f不发生变化的那些方向所组成的曲线簇。在某个方向上对df进行积分就等同于在横跨这些曲线簇，积分的大小和所横跨的曲线数目有关。如果积分路径是一个闭环，那么结果显然为零。如果一个一阶微分形式不能表示成某个函数的全微分，如：

我们仍然可以把w=0当作一堆曲线簇来处理。比如矢量场P=x y,Q=y-x对应的曲线簇如下图所示。

但这时的线簇不再等同于df=0时的线簇，因为d(df)=0总是成立，但dw=0并不总是成立。也就是说，如果将df视为一层层的面（也就是等值线簇），那么d(df)=0就表示每层的面之间没有什么厚度的区别。但对于w来说，其不同层的面之间是有厚度区别的，而dw就是在描述这些面簇厚度变化的细节。如果线簇之间没有粗细之分，那么路径积分就相当于这条路径所穿越的线簇数，但如果线簇之间有粗细区别，那路径积分就应当还包括把这种粗细叠加进去的效应，此时我们不仅需要考虑线簇在分布上的疏密，还要考虑其局部的粗细，最终决定曲线积分大小的是路径所穿越的线簇厚度的总和。

对于全微分df来说，线簇在某处的疏密程度直观地反映了该处矢量场（即梯度）模的大小，但对于一般的一阶微分形式w来说，线簇的疏密程度并不反映相应的矢量场模的大小。

如上图所示，左图是df，右图是w（箭头代表矢量场，曲线分别代表df=0和w=0）。左图中可以看到，线簇的疏密程度与箭头的长短（矢量的绝对值）呈正比，因此该矢量场内的线积分等同于积分路径穿越的线簇数。而右图中，线簇的疏密程度却与箭头的长短呈反比。为了直观反映外微分的结合特征，就需要对线簇进行改造，我们可以将线簇分割成一片片的小线段，在需要密的地方多摆放一些，而在需要疏的地方少摆放一些。这样一来，曲线积分就仍能从路径穿越的线簇数上直观地反映出来，就如同下图所示的那样。

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