平行四边形和等边三角形的综合题（这道题运用的知识很多）

这是2022年北京中考数学的一道真题，这道题并不太难，但应用的知识点还是蛮多的，包括平形四边形的判定定理及性质、平行与垂直的关系、等腰三角形的判定或垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理、直角三角形的斜边中线定理等。而且解这道题还要清晰的思路，要懂得运用第一小题的提示，去解决第二小题。

在△ABC中，∠ACB=90⁰，D为△ABC内一点，连接BD, DC，延长DC到点E，使得CE=DC. (1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF,EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；

(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB^2=AE^2 BD^2, 用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

分析：(1)第一小题只需要运用平行四边形的“对角线互相平分”的判定定理，结合平行线和垂线的关系就可以解决。

(2)第二小题的关键是，除了按题目要求，补全图2之外，还要按(1)的要求作图。这样就可以利用平行四边形的对边相等的性质，以及等腰三角形“三线合一”的判定定理，把三边的平方关系转移到一个三角形中，运用勾股定理判定直角三角形。最后还是运用平行线和垂线的关系，以及直角三角形的斜边中线定理来证明结论。

下面组织解题过程：

证明： (1)连接BE, DF,

∵CE=DC，CF=BC,∴四边形BDFE是平行四边形，【对角线互相平分的四边形是平行四边形】

∴BD//EF, 又AF⊥EF，∴BD⊥AF. 【如果一条直线垂直于平行线中的一条直线，就同时垂直于平行线中的另一条直线】

解：(2)如图，CD=CH，理由如下：

延长BC至F，使CF=BC，连接EF, AF.

由(1)可知BD//EF, 且BD=EF，【平行四边形对边平行且相等的性质】

又AB=AF，且AB^2=AE^2 BD^2，【AC垂直平分BF，用垂直平分线的性质也可以推出AB=AF，或者应用等腰三角形“三线合一”的判定定理】

∴AF^2=AE^2 EF^2，∴EF⊥AE，【用勾股定理判定直角三角形AEF】

∴BD⊥AE，【和第(1)小题最后一步是同一个定理的应用】

在Rt△DHE中，CE=DC，【即CH是斜边DE的中线】

∴CD=CH.【直角三角形斜边中线是斜边的一半】

题目真不难，但想要快速简洁地完成，也不容易，你说呢？