计算机里的浮点数是什么（深入理解计算机系统）

0.1 0.2 不等于 0.3，我们来看看为什么不等于我们先来看看浮点的原理浮点是什么

浮点表示小数点的表现在计算机的表示方式，是一种近似值的表现法

为什么是一种近似值的表演方式?

因为计算机是二进制表示，通过2^-n ，表示小数点的数字，这种方式有些数字不能表示出来

如 0.1 ~= 0.100000001490116119384765625，通过计算机CPU的精度进行减少误差

计算机是怎样表示的

浮点分，单精度与双精度，在64位系统里面区别在于单精度使用32位，双精度使用64位

我们来看看它的结构

S singificand 表示符号位，0表示正数，1表示负数

Exp exponent 表示阶码(E)，表示科学计数法的 n，计算机使用二进制 因此使用 2^E， 阶码的意思是指，二进制数的小数点向左移动多少位才剩下 1. 或 0. 为首位的

Frac, 表示用二进制表示小数点后的数, M表示十进制，说明能存储多少位小数，有些无限循环的二进制当位数不够会采用偶数舍入方式进位

单精度，s=1bit, exp = 8bit, frac = 23bit

双精度，s=1bit, exp = 11bit, frac = 52bit

其IEEE 浮点标准表示方式，V=(-1)^s x M x 2^E

所以10.5 是怎样存储的

我们需要把上面的数拆解为 V=(-1)^s x M x 2^E

10.5 转 二进制，分两部分 10的二进制 = 1010, 0.5 的二进制 0.1 （具体参考十进制转二进制的辗转相乘除法）

因此 10.5的二进制位 1010.01，标准表示方式 1.01001 * 2^3

关于阶码 E 的解析

e 表示 exp 的二进制，Bias 表示偏移量 = 2^(k-1) - 1， k为exp的位数单精度为8，E= e - Bias 等于阶码

k 表示exp的位数，这里表示8，k=8

e 表示exp的二进制，10000010

Bias 表示偏移量，2^(k-1) - 1，这里k=8 Bias等于 127

E 表示阶码科学计数法的幂，E=e-Bias (e需要转10进制计算)，

e - Bias = 3 , Bias = 127 求 e = (3 127)二进制 = 10000010

普及知识

非规格化，exp全为0，指0为头的表示方式，如0.10101. 0.0

规范化，exp 介于0~全1之间

特殊化，exp全为1，表示无穷大，nan

为什么需要偏移量 Bias

因为要表示阶码的负数，表示更多的范围，如果没有这个Bias ，exp的取值范围[0,255] ，没有负数，想扩展多0.00000的机会都没有，因此需要bias [-128,127] 为什么是这个值，因为是使用补码

浮点舍入

向偶数舍入，将数字向上或向下舍入，使得结果最低有效数字是偶数，如1.4，不到一半，1.4 = 1，-1.5 也变成-2，如果2.5，则变为2，因为偶数舍入是找最近的偶数进行舍入

向零舍入，把整数向下舍入，把负数想上舍入，如 1.4 = 1，1.6 = 1，-1.5 = -1

向下舍入，把整数和负数都向下舍入，1.4 = 1， 1.6 = 1，-1.5 = 2

向上舍入，把正数和负数想上舍入，1.4 = 2，1.6 = 2 , -1.5 = -1

为什么默认采用偶数舍入？

避免了统计偏移，舍入方法把一组数值，计算这些值的平均数中引入统计偏差，采用欧舍舍入得到一组数的平均值比这些数本身的平均值略高，相反向下舍入，比平均值略低

偶数舍入，在50%时向上舍入，50%，向下舍入

如1.234999 舍入 1.23，1.235舍入1.24

因为在1.23和1.24正中间，有 1.235 和 1.245，两者都舍入到。124，因为4是偶数

有限的精度不是主要问题，计算相对误差才是?

如何理解？

例如 0.1 在二进制里面是无限循环，0.0 0011 0011[0011] 括号是无限重复

程序可使用24位存储，在我们的系统中，是使用23位

X = 0.00011001100110011001100

当 0.1 - x 的二进制表示，为 0.000000000000000000000001100[1100]，23位都是0，后续1100[1100] 是0.1二进制的剩余

0.1 - x 的十进制值是多少呢？

0.1 = 0.000000000000000000000001100[1100]

x = 0.00011001100110011001100

两者相减为

0.000000000000000000000001100[1100]…不断重复[1100]

最终转化为 0.1 x 2^-20 大约为 9.54 x 10^-8

ps：2^-20 此方式怎样来的，0.1 是怎样来的

按照上面的 0.000000000000000000000001100[1100]…不断重复[1100]，我们抽取 20个零，为 2^-20

然后剩下 0.0001100[1100] 这个就是0.1 因此等于 0.1 x 2^-20

产生了这些误差，如果在一个运动系统里面进行，相乘100小时，9.54 x 10^-8 x 100 x 60 x 60 x 10 ~= 0.343秒误差

在乘速率 0.343 * v 如 v = 300m/s = 102.9m

这种在航天，导弹，自动驾驶都是至关重要的

假设采用偶数舍入

0.1 ~= 0.00011001100110011001100 采用欧舍方式23位表示，x` = 0.00011001100110011001101

最后的0变为1的原因 0.1 ~=0.00011001100110011001100(11) ，最后两位是11 因此进位

X` - 0.1 表示

0.00011001100110011001101 - 0.0001100110011000110011001100 = 0.000000000000000000001[1100]

其中1100是无限循环

约等于 2^-22 x 0.1，大约等于2.38x10^-8

相比0.1 - x ， X` - 0.1 所产生的误差， 2.38x10^-8 x 100 x 60 x 60 x 10 ~= 0.086, 相差4倍

速率为300m/s 距离误差为 25.8m

因此进行舍入是有效处理

实际问题解决

浮点 0.1 0.2 不等于 0.3

https://stackoverflow.com/questions/53975208/why-does-it-seem-like-my-floating-point-value-is-not-equal-to-itself

https://stackoverflow.com/questions/3962724/problems-in-floating-point-comparison

解决方式1

允许最大误差 epsilon，适合比较大小使用，这个怎样用？

代码比对，0.1 0.2 = 0.3 时候 出现给0.3大的数，这就是浮点精度所产生的误差问题，如，

php -r "var_dump(0.1 0.2, (0.1 0.2) == 0.3);" 输出 float(0.30000000000000004) bool(false)

这里需要进行两个数比较的时候，需要运行最大误差值，一些语言提供一种 espilion 浮点数可表示的最小值

PHP_FLOAT_EPSILON = 2.220446049250313E-16

php -r "var_dump((0.1 0.2 - 0.3) <= PHP_FLOAT_EPSILON);”

输出

bool(false)

完全转为10进制，忽略浮点，Decimal 库，decimal是计算机模拟出来，给原来的浮点运算是慢非常多，一般场景已经满足使用

另外一种方式使用bcmath进行运算

php -r "var_dump(bcadd(0.1,0.2, 17), bcadd(0.1,0.2,17) == 0.3);"

保留小数点17位的原因是因为 0.1 0.2 浮点值为 0.30000000000000004 小数点17位

上面实现，bcadd(0.1,0.2, 17) = 0.30000000000000000 且是字符串

实现了 0.3 比对的时候正确比对

尝试过其他语言如go语言

package main import "fmt" func main() { f32 := 0.1 0.2 a := fmt.Sprintf(“%.17f", f32); fmt.Println(a); } 输出 0.29999999999999999

如果不指定 小数点多少位，golang 默认帮你提取，如 直接 0.1 0.2 = 0.3 是相等的，少了很多问题，一旦指定精度如0.1 0.2 一旦指定保留小数17位就会产生误 猜想golang自己进行后续多个00的时候自动偶数舍入

128位long double， 32位 float 与 double 的存储是怎样处理的

https://stackoverflow.com/questions/32167925/how-does-a-32-bit-machine-compute-a-double-precision-number

分开存储，针对这更高精度的存储，需要扩大寄存器的使用存储

为什么 0.1 显示到0.1是 但运算的时候会产生差异 0.100000001490116119384765625

因为输入0.1的时候取整后，运算的时候，是全部位数一起进行运算

银行系统是如何处理浮点的？

场景： 费用 of --- $1,290 被9人平分 --- $1,290 / 9 每人能获取到: 143.3333333333 如果这个是银行给客户的 银行不会向上取证，如，保留小数点后两位 ，143.33 而不会143.34 如果是客户给银行的 需要给 143.34

计算机存储结构解析

通过 decimal data type 且与舍入位数处理，数据库的decimal 类型

Decimal 结构

mysql 的实现

http://mysql.taobao.org/monthly/2021/03/02/

struct decimal_t { int intg, frac, len; bool sign; decimal_digit_t *buf; }; 通过 buf 数组进行位数 // decimal(81, 18) 63 个整数数字, 18 个小数数字, 用满整个 buffer// 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123.012345678901234567 decimal_t dec_81_digit = { int intg = 63; int frac = 18; int len = 9; bool sign = false; buf = {123456789, 12345678, 901234567, 890123456, 789012345, 678901234, 567890123, 12345678, 901234567} };

java 的 BigInteger 也是差不多通过 数组，切好小数点的长度放入数组里面

https://zazalu.space/2019/09/25/java-amount-calculation/

无符号浮点？

按照IEEE 754的表述，浮点是通过首位0/1表示正负，没有表示为符号型，而且浮点是关心小数点的精度问题

http://steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html

总结

有限的精度不是主要问题，计算相对误差才是

改善方向，需要提高运算时候的精度，如扩大exp和frac，不断接近真实数

现在知道 为什么 0.1 0.2 不等于 0.3

参考资料

浮点二进制科学计算方式表示，描述 E M 的逻辑关系

https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

https://en.wikipedia.org/wiki/Floating-point_arithmetic#Floating-point_arithmetic_operations

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponent_bias

https://medium.com/starbugs/see-why-floating-point-error-can-not-be-avoided-from-ieee-754-809720b32175

浮点科学计算方式的转换

https://stackoverflow.com/questions/3954498/how-to-convert-float-number-to-binary

https://stackoverflow.com/questions/10687016/what-is-e-in-floating-point

https://stackoverflow.com/questions/588004/is-floating-point-math-broken

计算器

https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

https://www.binaryconvert.com/result_float.html?decimal=048046048049

https://tool.oschina.net/hexconvert/

银行处理浮点

https://www.reddit.com/r/webdev/comments/73vtwv/financial_calculations_large_decimal_precision/

https://www.zhihu.com/question/22536323

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Decimal_data_type

bias参考资料

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponent_bias

https://sites.google.com/site/nutncsie10412/ge-ren-jian-jie/fu-dian-shu-biao-shi-fa

https://stackoverflow.com/questions/2835278/what-is-a-bias-value-of-floating-point-numbers#:~:text=By using a bias representation,looks like a smaller integer.&text=As you can see, even,out in the correct order.

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