证明圆的切线的技巧中考（怎样证明圆的切线）

证明一条直线是圆的切线，常见的方法有两种：

⑴当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径.可以记为“作半径，证垂直”.

⑵当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.可以记为“作垂直，证半径”.

下面举例具体说明.

【例1】已知：如下图所示，AB是圆O的直径，线段AF与圆O相切于点A，D是AF的中点，BF交圆O于点E，过B点的切线与DE的延长线交于点C.求证：CD与圆O相切.

思路分析：CD与圆O有公共点E，连接OE，要证CD是圆O的切线，需证∠DEO=90º.

容易证明∠FAO=90º，因此，可证∠DEO=∠FAO.

【证法一】如下图，连接OE、AE.∵AB是圆O的直径，∴AE⊥BF. ∵D是AF的中点，∴AD=DF=DE. ∴∠DEA=∠DAE. ∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.

∵AB是圆O的直径，AF是圆O的切线，

∴∠DAE ∠OAE=90º，∴∠DEA ∠OEA=90º，∵OE是圆O的半径，∴CD与圆O相切于点E.

【证法二】如下图，连接OE、AE、OD.∵AB是圆O的直径，∴AE⊥BF.∵D是AF的中点，∴DA=DE=1/2AF. 易证△OED≌△OAD，∴∠OED=∠OAD.

∵AB是圆O的直径，AF切圆O于点A，∴∠FAO=90º，∴∠OED=90º.

∵OE是圆O的半径，∴CD切圆O于点E.

【例2】已知：如下图所示，四边形ABCD内接于圆O，过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，对角线AC平分∠BAD，且CD^2=AB·DF.

求证：⑴EF∥BD；⑵EF是圆O的切线.

思路历程：∵∠BAC=∠DAC，∴弧BC=弧CD.∴BC=CD.∵CD^2=AB·DF，∴ CD·BC=AB·DF，即BC/DF=AB/CD，又∠FDC=∠ABC，则△ABC∽△CDF，则∠BAC=∠DCF=∠BDC. ∴BD∥EF. 要证EF是圆O的切线，需证OC⊥EF，只需证OC⊥BD.

【证明】⑴∵AC平分∠BAD，∴弧BC=弧CD. ∴BC=CD. ∵CD^2=AB·DF，∴CD·BC=AB·DF.

∴BC/DF=AB/CD.∵∠FDC=∠ABC，∴△ABC∽△CDF.∴∠DCF=∠BAC. ∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC=∠DCF. ∴ EF∥BD.

⑵如下图，连接OC，∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD. ∵EF∥BD，∴OC⊥EF. ∴EF是圆O的切线.

【反思】证明垂直时，要注意利用题中的直角条件，也要注意利用圆的性质证出直角.如直径对的圆周角是直角，切线垂直于过切点的半径，平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦.

【例3】已知：如下图所示，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD切圆O于点E.求证：BC和圆O相切.

思路分析：因为BC和圆O没有明确的公共点，因此可作OF⊥BC于F，证OF等于圆O的半径.

【证明】如下图，连接OE，作OF⊥BC于F.∵AD切圆O于点E，∴ ∠OEA=90º. ∴∠OFC=∠OEA. □ABCD中，OC=OA，AD∥BC.∴∠OCF=∠OAE. ∴△OCF≌△OAE. ∴OF=OE. ∴BC和圆O相切.

【例4】已知：如下图所示，AB是圆O的直径，CD切圆O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D.求证：AB是以CD为直径的圆的切线.

思路分析：连接OE，易证E是以CD为直径圆的圆心，因AB与这个圆没有明确的公共点，要证AB为切线，可作EF⊥AB于F，证EF等于半径CE.

【证明】如下图所示，连接AE、OE，作EF⊥AB于点F.∵CD切圆O于点E，∴OE⊥CD. ∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥OE∥BD. ∵AO=OB，∴CE=ED. ∴E是以CD为直径的圆的圆心.∵OA=OE，∴∠1=∠3. ∵AC∥OE，∴∠2=∠3. 则∠1=∠2， ∴EF=CE，∴AB是以CD为直径的圆的切线.

【反思】证明切线时，要看清直线与圆是否有明确的公共点，再选择证明方法.对于没有告诉直线与圆有明确的公共点的题目，则需证明圆心到直线的距离等于半径.