关于数学界的诗句（西游归来的数学081）

第81回

流沙河畔，巍峨烟窗入云端

望江楼上，欲穷千里存疑惑

话说沙僧担心铸造厂的烟窗安危，让八戒算一下此次经过沙河市台风的最大风力是几级？

八戒说，"这个很简单，当市中心A距离台风中心最近时所受的风力最大，也就是说当台风中心在点D时，沙河市所受的风力最大，最大风力为16-150÷20=8.5（级）."

沙僧一听影响沙河市的最高风力将到达到8.5级，立即吩咐工人们对烟窗进行加固。

沙僧亲自出马，八戒紧随其后，兄弟俩加大油门朝铸造厂开去，远远就看到一座熄火已久的大烟窗似乎在风中摇曳.

这是在扩建铸造厂规模后新建一个大型冶炼炉，炉的烟窗是一个高达近百米的大圆柱，圆柱底面周长90米，高为120米。

为了抗击这次的台风，沙僧决定从圆柱底端的点A处开始顺着圆柱侧面用一条特制的钢线均匀地绕30圈到圆柱顶端B处，且A、B在同一母线上（如图1）。

"沙总，钢丝线需要购买多长呢？"负责购买钢线的工人问。

"二师兄，你赶快帮我算一下，按照设计钢丝线最少需要多少米？"

"好的，沙师弟。"八戒说，"知道需要多长的钢丝线，首先把圆柱展开成矩形，然后再利用'两点之间，线段最短'可以解决。"

"这个我也知道."沙僧说，"把圆柱沿母线AB展开后所得矩形的底边是圆柱底面的周长90米，高就是圆柱的高120米，可是把矩形对角线的长√(90平方 120平方) =150（米）作为钢线的最短长度好像不对啊？"

"你这个答案确实不对."八戒说，"那是从点A绕一圈到点B的最短长度，而这里要绕的是30圈."

"那是不是需要30×150=4500（米）吗？"沙僧问.

"这也不对."八戒说，"你看如图2，绕30圈时每一圈的长不是150米.注意到绕一圈时，钢线上升的高度只有4米，而不是120米，因此，这种情况下绕一圈的最短长度是√(90平方 4平方) =√8116=2√2029（米），所以绕30圈需要最短钢线长为30×2√2029=60√2029≈2703（米），因此，最少大约需要购买2703米长的钢线."

台风过后，沙僧工厂丝毫未损，沙河市秩序井然，市民们依旧日出而作，日落而休。

第三天，沙僧、八戒带着猪小能来到了沙河市最高酒楼望江楼，这是一家集饮酒和观光于一体的五星级大酒楼，站在酒楼的顶层可以鸟瞰沙河市全貌，由于刚经过台风的洗礼，空气格外清新，天空格外晴朗，眺眼远处山峦叠嶂，云蒸雾绕，流沙河水一望无际，犹如天上而来。

沙僧忽然想起了王之涣"欲穷千里目，更上一层楼"的诗句，他遂向八戒问道："二师兄，你说再上一层楼究竟能多看多远呢？"

"这个我可没想过。"八戒说，"不过我们可以算算看的。"

"这个也能算吗太爷爷？"小能觉得奇怪，"怎么算呢？"

"把地球看成是球体，它的半径R=6 400 000米，如图3是经过圆心的截面。"八戒说，"假设我们现在所在的位置点A与地球表面的点B的距离为h米，则AB经过圆心O，此时能看到地球表面上的最远点为C，则AC是圆O的切线，连接OC，则OC⊥AC.

在Rt△OAC中，OA=R h，OC=R，由勾股定理，得

AC=√[(R h)2-R2] =√(h2 2Rh).

当h=100时，这差不多是这栋楼的高度吧？"

"这栋楼地平面上有33层，差不多100米高没错的。"沙僧肯定地说。

"当h=100时，我们的视线长度是

AC=√(100平方 2×6400000×100)

=√1280010000≈35777（米）

当我们再上一层楼时，高度增加了3米，此时h=103，

AC=√(103平方 2×6400000×103)

=√1318410609≈36309（米），

原来可以看到的最远距离是35777米，

再上一层楼后可以看到的最远距离是36309米，

36309-35777=532（米），

因此，更上一层楼只能多看500多米远."

"原来'欲穷千里目，更上一层楼'是骗人的名句啊！"沙僧叹道。

"太爷爷，如果想真的看到千里之外，需要站在多高的位置呢？"

"古时的一千里是500公里，也就是500 000米，"八戒说，"在图3的Rt△OAC中，OA=R h，OC=R，AC=500 000，由勾股定理，得

R h=√(R2 500000平方)

=√(6400000平方 500000平方) =6419501，

所以h=6419501-R=6419501-6400000=19501（米）.

这就是说，要想看到千里之外，除了需要高倍的望远镜外，还需要在约20千米高的空中才能看得到.

看来'欲穷千里目'，'更上一层楼'是远远不够的。如果每层楼高3米，需要站在6千楼顶上才能看到千里之外啊！"

望江楼的江老板和沙僧是故交，他知道沙僧跟他二师兄八戒一起来后特意出来跟八戒打招呼，并吩咐备办酒宴热情招待。

席间，桌上放着一包如图4打开的香烟，八戒拿起来仔细一看，包装盒的横截面是如图5的矩形ABCD，20支香烟的排列横截面是20个相同的小圆，上下左右相邻的两圆外切（两圆有唯一的公共点且除这个公共点（切点）外圆上的其他各点都在另一个圆上），每支香烟底面圆的直径都是8mm．

"小能，你能算出制作这种香烟的包装盒的横截面矩形ABCD的面积是多少吗？"

"矩形ABCD的长AB是7个圆直径的和=7×8=56(mm)。"小能说，"高AD是多少我算不出来。"

"我告诉你，如果两圆外切，圆心的距离等于两圆半径的和。"八戒说，"在如图5中，选择⊙O1、⊙O2、⊙O3，连接这三个圆心，得等边三角形O1O2O3，你说这个△O1O2O3的边长是多少？"

"是4 8 4=16(mm)。"小能说，"我知道怎么做了。先求等边△O1O2O3的高，再加上两个圆的半径就是矩形ABCD的高。"

"是的。"八戒说，"你再算一下。"

"在等边△O1 O2 O3中，作底边O2O3上的高O1 E．

则在Rt△O1O2E中，O1O2=16，O2E=8，

所以O1E=√(16平方-8平方) =8√3≈13.84．

∴ AD=O1E 8=13.84 8≈21.8（mm）．

所以矩形ABCD的面积

S=AB·AD=56×21.8=1220.8(平方毫米)，

约为12.2平方厘米。"

猪小能刚算完香烟包装盒截面积后，服务员开始来上饭菜。大家静下来吃饭。

吃饱饭后八戒、沙僧和江老板开始喝酒，小能则自个儿在包厢角落里一个玩儿童玩具。他在点A处推出一个圆形的大"硬币"，让它沿着如图6的点A→B→C→D的路线滚动，然后掉入凹槽中。

前几次试玩时，"硬币"总是滚不到凹槽里就倒下了，后来终于成功了。玩腻了后，小能认真观察后发现："硬币"的直径为60cm，AB=300cm，BC=400cm，CD=500cm，∠ABC=∠BCD=150°。然后思考着这样一个问题：

"硬币"从点A滚动到点D，在这个滚动观察中"硬币"的圆心O经过的路程是多少呢？"

小能想了好久也没算出来，他跑过来问八戒。八戒说：

"要想知道圆O从点A滚到点D圆心O经过的路程，需要先知道在这个过程中圆心O经过的路线。你知道这条路线吗？"

"是不是一条与折线AB→BC→CD平行的折线？"小能不敢确定。

"不全是。"八戒说，"圆O在AB这段路上滚动时，圆心O经过的路线是与AB平行且相等的线段没错，但圆O从AB路段改为在BC路段，此时圆心O要经过一次旋转；在BC路上滚动时，圆心O经过的路线与BC平行，但路程与BC是不相等的；在CD上滚动时，圆心O经过的路线与CD平行，但路程与CD也是不相等的；同样地，在CD上滚动时，圆心O经过的路程与CD也是不相等的。"

"为什么不相等呢？"

"因为圆O从BC路段上滚动改变为在CD路段上滚动，圆不需要经过点C。"八戒说，"圆心O滚动的路线如图7所示，其中弧O1O2是圆O从AB路段变为BC路段这个过程经过的路线，点E是圆O在BC上最后一个点，点F是圆O在CD上的起点。"

"我知道了，圆心O经过的路线长是OO1 弧O1O2 O2O3 O3O4。其中OO1=AB=300。"小能问，"可是如何求其他段的长呢？"

"想求弧O1O2的长必须知道圆的半径及弧的度数，其中半径是30cm，你能算出弧O1O2的度数吗？"

"∠O1BO2=360°-∠ABO1-∠ABC-∠ CBO2

=360°-90°-150°-90°=30°，

所以弧O1O2的长=30л×30/180=5л (cm).

如何求O2O3和O3O4的长呢？"

"O2O3=400-CE，O3O4=500-CF。"八戒说，"由切线长定理，CE=CF，先求CF的长。"

"可是如何求CF的长呢？"

"这的确是个难题。"八戒喝完杯中酒后说，"我们把四边形ECFO3分离出来并放大为图8，延长FC与O3E的延长线交于点G。由已知，O3E=O3F=30cm，∠ECF=150°，∠O3EC=∠F=90°，所以∠O3=30°，

所以∠G=60°。

设EG=xcm，则CG=2x，CF=CE=√3x，

所以GF=2x √3x，O3G=x 30，

由O3G=2GF，得

x 30=2(2x √3x)，

整理，得(3 √3)x=30，x=30/(3 √3) =15-5√3,

所以CE=CF=√3x=√3（15-5√3）=15√3-15，

所以O2O3=400-CE=400-(15√3-15)=415-15√3,

O3O4=500-CF=500-(15√3-15)=515-15√3，

所以圆心O经过的路线长OO1 弧O1O2 O2O3 O3O4

=300 5л 415-15√3 515-15√3

=1230 5л-30√3

≈1193.7（cm）。"

正当八戒爷孙俩聚精会神进行计算时，沙僧的微信提示声突然响了起来。

欲知谁发来的微信？请看下回分解。

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