数学立体几何外接球半径怎么求（高一必修二如何求立体几何图形的外接球半径）

高中数学立体几何图形的外接球问题通常可以归结为两类图形，一类是圆柱模型；一类是圆锥模型。

图1

如果一个几何体内接一个圆柱，那么就可以使用圆柱模型。

今天我们先说说哪些图形可以使用圆柱模型：

一、圆柱

一个底面半径为r，高为h的圆柱，则它的外接球半径为：

图2

二、正棱柱

1、推导过程

如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：

图3

由此可得直三棱柱的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直三棱柱的外接球求半径符合圆柱模型（不是所有超过四的直棱柱都有外接球）.在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r.

斜棱柱没有外接球.

2、正三棱柱、正四棱柱或正六棱柱的结论

如果在圆柱上下底面对应位置处，取间隔相等的三个点，那么这个棱柱是正三棱柱；取间隔相等的四个点，那么这个棱柱是正四棱柱；取间隔相等的六个点，那么这个棱柱是正六棱柱。正棱柱都有外接球。

这里给出正三棱柱、正四棱柱或正六棱柱的结论：

图4

图5

3、长方体与两类墙角三棱锥的结论

如果在圆柱上下底面对应位置处，取的四个点构成长方形，那么这个棱柱是长方体。

图6

基于长方体，可以发现两类特殊的三棱锥，我们称之为“墙角三棱锥”，这两类三棱锥的外接球半径等于相关长方体外接球的半径.如图，三棱锥P-ABC：

图7

图8

4、正方体与球内接正四面体的结论

如果3中的长方体的长宽高都相等，可以得到正方体的结论.

图9

基于正方体，可以得到正四面体的结论.

图10

三、基于图3得到的两种特殊椎体

1、一根侧棱⊥底面的椎体

如果把图3中的三棱柱上面的B1C1去掉，我们会得到一个三棱锥，如图：

图11

这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，符合第一类墙角三棱锥：竖直棱AA1就是公式中的h，底面ABC的外接圆半径就是公式中的r.

2、一个侧面⊥矩形底面的四棱锥

如果图3中的三棱柱ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？

图12

这就是将一个四棱锥放倒了！它的特点是：底面 ABC⊥侧面AA1B1B，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！

图13

结论

本文参考：

解题套路很深的梁老师：「高考数学~外接球套路「全」」

高考冲刺技巧の模法笔记：秒杀外接球 圆锥外接球模型

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