中考题圆动点问题（动圆难题求解有策略）

图形与几何问题一直是初中数学学习的重点和难点。在众多几何问题中，以圆为背景考查的试题则更具有综合性。当圆与三角形、四边形等图形结合时还加入了图形运动，众多同学会感觉很困难，无从下手。下面结合例题对两类动圆问题进行剖析。

一、看得见的圆在动，看不见的位置在变

例1．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（　　）

【解析】如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．

∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，

∵OT＝OA，∴△OTA是等边三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，

本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

例2．如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连接MP．量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（　　）

【解析】：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，

当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：

本题考查了扇形的面积计算和等边三角形的面积计算，正确分析出MP扫过的图形并明确扇形的面积计算公式是解题的关键．

例3．如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝2√5，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．

（1）求tan∠BPC的值；

（2）随着点P的运动，BD/AP的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；

（3）运动过程中，AP 2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．

【解答】：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

（2）BD/AP的值不会发生变化，理由如下：

∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∴∠1 ∠PCB＝∠2 ∠PCB，∴∠1＝∠2，

∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，∴∠3＝∠PAC，

本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质及三角函数的应用等知识点．

二、看不见的圆在动，看得见的形状在变

例4．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的做法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【解析】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，

∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，

∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．

解决动态问题一般步骤：

（1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分类讨论。有时符合试题要求的情况不止一种，这时也需要分类讨论。

（2）画出符合题意的示意图。

（3）根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。

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