高中数学求导公式大全（这道高中数学题是不是超纲了）

这是高中数学一道应用指数函数的性质比较数的大小的问题。不过单单依据指数函数的性质还解不了这道题，这里面还要结合到函数的奇函数和单调性，并用需要构造辅助函数。甚至还要用到高数中积的求导公式。题目是这样的：

定义在R上的函数y=f(x-1)的图像关于(1,0)对称, 且当x∈(-∞,0)时, f(x) xf’(x)<0(其中f’(x)是f(x)的导函数).比较a,b,c的大小关系.

其中：a=3^0.3·f(3^0.3), b=log_π 3·f(log_π 3), c=log_3 (1/9)·f(log_3 (1/9)).

分析：观察a,b,c的表达式，我们可以想到构造辅助函数g(x)=xf(x)，然后求它的导数。这里就要运用到高数中，积的求导公式：(uv)'=u'v uv'，即积的导数等于各因数的导数分别乘以其它因数，再求和。

由g(x)的导数f(x) xf’(x)<0，x∈(-∞,0)，就可以知道g在负区间上是减函数。

而y=f(x-1)的图像关于(1,0)对称, 所以f(x)关于(0,0)对称，即f(x)是奇函数. 从而可以推知g(x)是一个偶函数。由偶函数的对称性就可以知道g(x)在正区间上是增函数。而a,b,c分别是x=3^0.3，x=log_π 3和x=log_3 (1/9)的函数值，其中log_3 (1/9)<0，要利用g(x)偶函数的性质转化成g(2)。再由三个自变量的大小关系，就可以知道a,b,c三个数的大小关系了。解题过程如下：

解：记g(x)=xf(x), 则g’(x)=f(x) xf’(x)<0, x∈(-∞,0), ∴g(x)在(-∞,0)是减函数.

∵y=f(x-1)的图像关于(1,0)对称, ∴f(x)是奇函数.

又g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x), ∴g(x)是偶函数.

∴g(x)在(0, ∞)是增函数.

a=3^0.3·f(3^0.3)= g(3^0.3), b=log_π 3·f(log_π 3)=g(log_π 3),

c=log_3 (1/9)·f(log_3 (1/9))=-2·f(-2)=g(-2)=g(2),

∵0<logπ3<1<30.3<2, ∴b<a<c.

题目就分解到这里，如果有哪里不够严谨，甚至有出错的地方，欢迎指正交流。

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