立体几何大题4点共面问题怎么解决（一道高中立体几何题-求两点之间的最短距离）

一道高中立体几何题-求两点之间的最短距离

一个正四面体的顶点为A， B, C， D， 每个棱的长度都是1， 点P在棱AB上， 点Q在棱CD上， 求P和Q之间的最短距离。

解法1：两点之间垂线最短， 这样PQ最短距离的出现， 应该是P是AB的中点， Q是DC的中点。

如上图，这样连接PC和PD， 可以知道PD=PC， 因为四个面都是全等的等边三角形， 其中线也相等。 因此PQ垂直于CD。

对于边长为1 的等边三角形，其中线PC=PD=(√3)/2, 而QC=1/2，

所以根据勾股定理， PQ的值：

解法2：如下图， 有点D做DD’垂直于底面， D’是垂足，连接CD’, 由于是正四面体， 所以D’是三角形ABC的中心， 所以CD’则是底边中心的2/3， 这是由中心的性质决定的。由此得知三角形DCD’是直角三角形。

可以算出：

因为：

而：

根据余弦定理：

最后得出：