怎样求曲线某一点的斜率（曲线上每一个点的斜率原来是用尺子量出来的）

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求导数的时候，我们习惯于先把函数的导函数求出来，然后再把 x 的值代入，得出该点的导数值。比如

图1

那么x=x0=1点处的导数值y'就是3。那么，可以认为导数值就是导函数在这点的值吗？

先看导数定义：

图2

由于 x 可以代表定义域内的任意一点，上图说明，任意一点的导数值都是一个极限值，而且，按照上述定义，导数就是斜率，因为定义中的分子就是下图的delta y：

再看点 x0 处的导数值定义：

我们注意到，要求某函数在点 x0 处的导数值，首先是要求函数f(x)在x0的

邻域内有定义，否则

将无法计算，这也是函数可导就一定连续的原因所在。而且，从图2的定义来看，导数的分子是函数f(x)的两个不同点函数值之差：

也就是说，要求出某一点的导数值，我们至少要知道函数f(x)的两个不同点的函数值，这和图1中的直接代入导函数的方法有着本质不同。

那么，图2定义式中的分子在具体计算过程中能不能用两个具体的函数值代入进行计算呢？答案是不能。比如：

图3

这里的x0可以用任何数字代入，比如1，2，3，等等，但我们绝不能以

f(1 0.0000000......1)来代替

进行计算，因为这在理论上是完全错误的，当然近似计算是另外一回事。

为什么说上述方法在理论上是完全错误的呢？

这是因为

中的delta x是一个无穷小量，而所谓的无穷小，就是比任何一个确定的数字都小，也就是不能用任何确定的数字表示，小到只能用delta x这样的符号表示。

图4

上图表示的意思就是，点a的坐标在数轴上可以用一个任意小的确定数字表示出来，但点x的坐标在数轴上却无法用任何一个确定的数字表示，因此ox之间的这段距离只能用delta x 这样的符号表示，也就是无穷小。

图5

我们知道，任一点的导数代表的是这点的斜率，如上图所示，abc代表一个直角三角形。因为导数计算出来的是精确的斜率，所以我们假设存在点b同时处于曲线n和切线m上面。假定点a表示 f(x0)，x0可以是任何一个数字1，2等等，ac之间的长度就是delta x,所以点c的坐标我们无法知道，只能用

这样的符号表示。正是因为这样的假设，我们才可以认为点b，也就是f(c)同时也处于点a的切线上面，否则，如果点c的坐标是一个确定的数字，由于曲线n和切线m的方程不一样，代入同一个数字计算出来的结果必然不一样，点b同时处于曲线n和切线m上面的假设就不成立。由于点c的坐标不能用一个确定的数字表示，导致点b的数值也只能用下面的符号表示：

只有上面那样的假设才能完整解释导数的定义。因为如果点b的函数值可以用一个数字表示，那就意味着ab之间（曲线线段f(a)与f(c)之间）一定包含着无穷多个其它的有理数和无理数点，那这样求出来的导数值就是完全错误的，因为按照图1的方法，导数是为了精确地求出任意一个点的导数值。所以上文提到的f(1 0.0000000......1)计算方法在理论上是完全错误的。

按照导数定义

点b可以无法用数字表示，但它一定要存在，也就是它可以用

这样的符号表示。

经过上面的解释，我们似乎可以这样认为：对于某一点的导数定义

来说，函数 f 可以在除了x0（x0代表一个数字）这个点以外，在其它任何一个点都可以没有定义，但却必须在

处有定义，这个地方不能认为是一个点，因为数学上的点都对应一个数字，它只能认为是与x0 的距离已经小到不能用任何数字表示的一个位置，也就是说，这个位置处于点x0与它的下一个点之间，如图4所示。与这个位置相对应的函数值

我们也就不可能知道它的确切数字，因此它也不是一个点，而是曲线上距离点f(x0)的某个位置。正是我们无法知道它到底是多少才是正确的，否则这个点有确切的函数值的话，那就不是导数定义的本意了。按照上面解释，图5中的点c和点b都不能认为是一个点，而是直线或者曲线距离a点的某个位置。

那么，为了定义导数，数学家们就为我们想象出了下面的这个东西：

图6

这个东西的那段弧长是不能用数字表示的（包括0，因为它比0大，却同时比任何一个确定的数字要小。因此我们不可能知道它到底多长），一定要说多长的话，那就是

的平方加上delta x的平方再开根号：

但这段弧却必须存在于曲线f(x)上面。因为只有这样才能保证导数的定义有意义，也才能保证求出的是x0这个单独的点的斜率，因为这段弧只包含f(x0)这一个可以用数字表示的点，不包括第二个端点，更重要的是，这段弧必然同时处于过xo点的曲线和切线上面。于是，我们可以把图6中的那段弧看作是一把尺子，这把尺子处于曲线上点f(x0)与它的下一个点之间，它能在曲线 f(x)上一个点一个点精确地测量出它们的斜率来。

如果有人一定要问我们无穷小量delta x到底是一个什么数字时，我们只能告诉他，delta x什么数字也不是，它就是

，仅此而已。

例如，我们计算导数的时候：

要计算x=1这个点的斜率，只要代入就行。整个计算过程中，我们都不用知道delta x到底是个什么数字，但却可以得出结果，只要最后在允许的情况下把它忽略就可以了。

回到前面的问题上来，某一点的导数值和这一点的导函数的值完全是两码事，前者代表的是曲线在这一点的斜率，而后者只是一个函数在某点计算出来的一个数字。两者之所以相等，只是因为求极限以后两者刚好相等罢了：

综上：

1：导数是一个极限值，表示某个点的斜率，不是一个函数值。

2：导数的定义就是创造了一把尺子，这把尺子同时处于过同一个点的曲线和切线上连续的两个点之间。

3：无论直线或者曲线上连续的两个点之间的距离多小，这个距离还是能够放下别的东西。

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