线性方程组的发展历史（从线性方程组走进历史）

线性方程组，大家一定非常熟悉，应该跨入中学校门，甚至有些同学在小学，就学习过、求解过这类方程。老师教授的求解方法，一定是加减消元法。当然，进入大学以后，还会学习这一数学内容，只是，我们看待问题的角度、深度，都完全不一样了。

1. 历史尘烟中的线性方程组与代数

• 丢番图方程

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，故不定方程也被称为为丢番图方程。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。丢番图有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个变数以上)。

丢番图的不定方程研究对代数学的发展起了极其重要的作用，在丢番图的著作《算术》中，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。

丢番图（Diophantus）是古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家（约公元246—330年，据推断和计算而知）丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，以代数学闻名于世。 他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为“代数学之父”不无道理。

丢番图（约公元246—330年）

* 丢番图的墓碑——代数学之父的最后表现

坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予的童年占六分之一， 又过了十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟来的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过了四年，他也走完了人生的旅途。 终于告别数学，离开了人世。

大家可以试着，用代数表达丢番图的重要节点，一定会解读丢番图的精确人生。

• 九章算术中的不定方程

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有不少问题是不定方程组的问题，如鸡兔同笼。

九章算术

九章算术：五家共井 ——《方程》第13题

今有五家共井，甲2绠(绠是汲水桶上的绳索)不足如乙1绠，乙3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如丁1绠，丁5绠不足如戊一绠，戊6绠不足如甲1 绠。如各得所不足1绠，皆逮(达到的意思)，问井深绠长各几何?

翻译后，意思为

有五个家庭共同用一口井，他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水，甲绳两根连接起来还不够井深，短缺数刚好是乙绳的长。乙绳3根连接还不够井深，短缺数刚好是丙绳的长，丙绳4根连接还不够井深，短缺数刚好是丁绳的长，丁绳5根连接不够井深，短缺数是戊绳的长，戊绳6根连接不够井深，短缺是甲绳的长，问井深、绳长各多少?

我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为x，y，z，u，v，以及井深为h，于是根据题意，我们得到下面的方程组:

2x y=h,

3y z=h,

4z u=h,

5u v=h,

6v x=h.

求解方程。可以看出，这就是我们熟悉的线性方程组。

• 中国剩余定理

孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，又称中国剩余定理。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。

明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

孙子歌诀

三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。

意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。

比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

2. 现代数学体系中的线性方程组

设m个方程n个未知数的线性方程组为

非齐次线性方程组 AX=b

线性方程的导出组

齐次线性方程组

我们把方程组 AX=0 称为相应于线性方程组 AX=b 的齐次方程组，简称导出组。两组方程组的解关联密切，解的通解形式有着直接的联系。

线性方程组的解，可以看作为解向量，解向量有n个分向量，具有n个自由度。

线性方程组，有m个方程，体现着对解向量的m个约束。其中，或含有冗余信息，或含有矛盾方程。中学数学，可以用加减消元法，甄别方程是否有解，解是否唯一。

3. 齐次线性方程组 AX=0

对于齐次方程组 AX=0，若R(A)=r<m，则意味这m个方程中，有冗余方程，真正有效的约束，只有r个，因解向量为n维向量，故此时，解向量就要n-r个自由度。基础解系当中，必含有n-r个线性无关的解向量，构成基础解系。

定理 1 设A是mxn矩阵, R(A)=r<n，则齐次方程组 AX=0 必有基础解系，且基础解系有n-r个解向量.

定理 2 设A是mxn矩阵, R(A)=r<n，则 R(A) R(S)=n.

上面定理中，R(S)表示解向量空间的维数，即基础解系中线性无关解向量的个数。

推论 设A是mxn矩阵, R(A)=n，则齐次方程组 AX=0 仅有零解。

其实，上述定理，我们可以给出通俗的解释。

设m个方程n个未知数的齐次线性方程组为

齐次线性方程组

齐次线性方程解向量为n维向量，假设由n个自由度的猴子构成。线性方程组，每个方程，体现着对解向量的一个约束。总共m个方程，并不意味着m个有效约束。有效约束，剔除掉冗余方程，个数为R(A)=r, 体现着对解向量的r个约束。若约束R(A)=r<n, 则小猴仍有n-r个自由度；若约束R(A)=n, 则小猴失去所有自由度，牢牢定在零解上。约束和解向量自由度，由解向量维数控制，总数为n.

受到约束的猴向量

4. 非齐次线性方程组

设m个方程n个未知数的线性方程组为

非齐次线性方程组 AX=b

非齐次线性方程组的解，与相应齐次方程组（i.e., 导出组）的解密切关联。以下定理揭示它们之间的关系。

定理 3 若 X1, X2 分别是非齐次方程组 AX= b的解，则 X1-X2 必为AX= 0的解.

定理 4 若 X0是非齐次方程组 AX= b的解，X*为齐次方程AX= 0的通解, 则 X0 X* 必为AX= b的通解.

引入系数矩阵、增广矩阵，以解释非齐次线性方程组的解的存在情形。

系数矩阵与增广矩阵

增广矩阵由系数矩阵扩展一列，即增加常数项一列得到。

非齐次线性方程组解的存在

对于m对个方程n个未知数的非齐次线性方程组，m个方程同样意味着m个约束。但非齐次线性方程组，其常数项，引起增广矩阵秩的变化。

此时，m个方程，或者其中的有效约束( R(A)=r<m )，并不足以控制常数项b，则方程无解。按线性系统理论的说法，系统不可控制。反之，当增广矩阵与系数矩阵的秩相同，系统可控。至于解唯一，还是无穷多，就要看约束和解向量的维数制衡了。

5. 线性方程组解的向量解构

齐次方程，必定有解，至少有零解。

系数矩阵可以看作由列向量构成

这样，齐次方程，可以看作以下形式：

有没有非零解，其实，刻画了系数矩阵列向量的相关性。若列向量线性无关，则相应齐次方程有唯一解，即零解；若列向量线性相关。则相应齐次方程必有非零解。

非齐次线性方程组，就不一定有解了。关键在于系数矩阵，是否能控制到常数项的相关要素。若非齐次方程有解，则意味着常数项可以由系数矩阵列向量线性表示。若解唯一，则该线性表示唯一；若有无穷多解，则线性表示形式不唯一，表示方法有无穷多种。

6. 从三个不同的角度看线性方程组

• 线性方程的组合联立

系列线性方程的联立求解，通过加减消元法，或称高斯(Gauss)消元法, 可以剔除冗余方程，找出矛盾方程，从而，获得方程组有解、多解，抑或无解的结论。中学生，可以通过加减消元法，获得方程组解的结论。这一点，在线性代数理论中，则可以得到更清晰的解释。

• 矩阵方程

线性方程的联立，是孤立地看待一个个方程。有解，还是无解，在现代数学中，提炼出矩阵的秩。秩的概念，更加深刻地揭示出线性方程之间的关系。冗余方程，对系数矩阵的秩，不会带来本质地提高，属于冗余信息；矛盾方程，则意味着信息的不可调和。集成处理系数矩阵，体现着现代科技大数据融合、数据分析的特征和工作模式。

• 解的精细向量结构

向量的概念，则使得线性方程组的研究进入“分子”状态。用向量来剖析线性方程组解的结果，可以让我们从方程内部结构，认识线性方程组的内涵。线性方程组的解，有着完美的线性结构，和系数矩阵的列秩，有着清晰简捷的联系。通过向量，进而获得线性方程组的基础解系、通解的表达式。

线性方程组，是一个非常古老的数学话题。古今中外，数学名家都在线性方程上留下足迹。我们的老祖先，也可以让我们骄傲无比，至少相对于微积分而言，我们更有资格这样。

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