e自然对数怎么来的（自然对数的底是怎么来的）

自然对数有什么“自然”的-e的由来？

牛津英语字典这样定义对数:

我们可以快速回顾对数的基本事实如下，

让我们从一个简单的公式开始:

如果已知x, y, z中的任意两个，我们就可以确定第三个:

•如果知道x和y，就可以用求幂的方法求出z。

•如果y和z已知，我们可以执行“提取根”操作来确定x:

如果我们知道x和z，满足 = z 的数y(指数)称为“z的以x为底的对数”，记作 z 。如果从上下文来看，底数x是清楚的，就不需要特意地提到。

因此，对数只是指数，而“指数定律”可以解释为“对数定律”:

= 1 意味着 1 = 0

• = x 意味着 x = 1
• (因此 y = 1 隐含着 x = y)
• · = 意味着 (a·b) = a logx b
• ( = 意味着 = b· a

特别地, 假设有一个以x为底的对数表，但需要以y为底，即 logy c. ，则得出：

因此，从一个底切换到另一个底很容易，这取决于方便性。正如Briggs首先指出的，以10为底的对数特别方便用于以10为底的数字的计算，这是我们的通常做法。通常，以10为底的对数被称为“普通对数”，通常缩写为“”。

当然，我们喜欢以10为基数写数字，这本质上是一种生物学上的意外，这与古代用手指数数字的习惯遥相呼应，其中最常见的天赋是10。(据推测，如果二趾树懒发明了算术，基数为4的树懒可能更常用!)

欧拉首先注意到对数的底数选择有一个更通用的基底。显然，他是第一个把对数看作一个“函数”，而不仅仅是一个便于计算的表格的人。下面是两个对数函数的图。“平坦”曲线是以10为底的对数曲线，“陡峭”曲线是以2为底的对数曲线。换底公式表明任何两条这样的曲线都与一个比例常数有关。

特别是,(正如你可能从绘制的曲线观察到)欧拉做出了简单的观察,这一点,对于x的值接近x = 1, x的对数(任何基地)总是接近于零——事实上,说,x = 1 y, y与一个非常小的数字, x≈•y,比例常数,决于底b。

值得注意的是，这种近似保留了对数的基本定律

因为y和z非常小时， y·z << y z .

当然,欧拉认可,常数Kb有些麻烦,因此有这样的合理的要求，如果选择合适的底的对数，使得Kb = 1,也就是说,一个底为b ，对于很小y的值，使logb (1 y)≈y,。对于下式利用选择的这个底b,我们随着n的无限增加,1/n就变得任意小，

两侧同时乘以n,

当n无限增加时，我们得到

或者,

因为对数函数是连续的。

因此,对于极限limn→∞,欧拉自然地引进了一个了缩写“e”,是对数的独特底，对于很小的y,有属性logb (1 y)≈y, 这也许让e的“自然”选择成为对数的底。事实上以e为底的对数通常被称为“自然对数。”在常用对数和自然对数同时出现的书中，常用对数通常写成“log x”，自然对数通常缩写为“ln x”。(在更高级的书中，常用对数很少使用，缩写log x经常用于自然对数!)有关e的来源还可可参考自然对数底e是怎么由来的？

我们也可以很容易地确定其他底的比例常数Kb:

根据换底公式，

所以