正切函数导数的几何推导（赏析一种三角型导数证明中的正切代换法）

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这种方法有局限性和特定适用类型，并非万能，其原理很容易理解，即在给定区间内，正弦余弦函数的单调性可能不确定，而正切函数在两条渐近线内是严格单调的，且正切函数与某些常见函数的结合整体的单调性也是确定的，另外，正切函数有常见的放缩形式，例如当0<x<π/2时，有sinx<x<tanx，利用以上三点，在处理某些含有三角函数的导数证明题中可是试着将正余弦代换成正切，利用正切的单调性和常用放缩形式来证明不等式成立。

但局限性同样很突出，若函数中出现了除了正余弦之外的指对数函数时，这种方法就不太适用了，而且利用正切放缩形式也需要提前证明，若直接使用在过程上会有不严谨的地方，先给出正弦余弦函数和正切函数的转化形式以及正切函数的导数值，如下：

由上面正余弦转化正切的公式可知，在所给定区间内正切可能不存在，所以需要将正切不存在时对应的x值单独讨论，由于正余弦均为二倍角的形式，所以用x=2p进行替换即可，替换之后由于正切函数的单调性或者与正切结合的函数单调性容易确定，所以在证明时无需再将区间切分的七零八碎，只需按照间断点来划分区间即可，此类问题给出以下两个案例，一是常规证明，另外一个是恒成立求参，均给出替换方法和常规方法。

本题利用常规方法证明也非常简单，不等式中不含指对数函数，也不存在分式函数，因此若用正切替换法，步骤如下：

替换法看上去比常规方法还要复杂，但实际上是因为本题所给区间过小，常规方法无需切分太多，常规方法证明就已经非常简洁了，导数替换法需要注意将正切值不存在的点单独讨论，难度不大，自己理解即可。

三角型导数恒成立求参常常结合断掉效应先猜后证或者某些特定题型中可以分参求最值，本题所给的是闭区间，可先利用两端点卡参数的大致范围，再予以证明即可，常规步骤如下：

上述标注的证明部分可以利用正切替换法来证明，注意需要单独讨论的点。

上述过程中用到了常见放缩形式tanx和x的大小关系，实际解答时需要简洁证明一下，不难理解，综合上述两题将该方法说明一下：

1.使用该方法有函数类型上的局限性，不可盲目使用。

2.需要注意三角替换形式以及单独讨论的点

3.若利用正切或正切相关函数证明单调性时，切分区间会比常规的正余弦简单一些。

4.若利用所正切放缩形式，需要注意给定的区间范围，所以此类解法会对区间有特定要求，属于特定题型下的特定方法，理解即可。