实数的运算法则知识点（数学分析第二讲）

第二讲 实数的基本性质2

• 实数的阿基米德性：

对于∀a,b属于R ，∃ n属于N，使得nb>a。

理由如下：

设a=a0.a1a2……an……，a0=k属于N，则a<=k 1<10^(k 1).

设b=b0.b1b2……bn……，bp为第一个不为零的正整数，令n=10^（p k 1）,则nb>=10^(k 1)>a.

• 实数的稠密性：

1.任意两个不相等的实数a与b之间，必有另一个实数c。

2.任意两个不相等的实数a与b之间，既有有理数又有无理数。

• 实数与数轴上的点一一对应。

1.对于这种对应关系，粗略的可描述为：

设p是数轴上的一点（不妨设在0的右边），若p在整数n与n 1之间，则a0=n。

把（n，n 1）十等分，若点p在第i个区间，则a1=i。

类似可得到an，n=2,3……，这时，令点p对应于a0.a1a2…an…

反之，任何一实数也对应于数轴上一点。

2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性。

• 实数的绝对值与三角不等式：

1.实数a的绝对值|a|定义为：

2.实数的绝对值性质：

（1）|a|=|-a|>=0;当且仅当a=0时，|a|=0

（2）-|a|<=a<=|a|；

（3）|a|<h等价于-h<a<h，|a|<=h等价于-h<=a<=h。

（4）|a|-|b|<=|a b|<=|a| |b|（三角形不等式）。

（5）|ab|=|a||b|

（6）|a/b|=|a|/|b|（b不等于0）

3.三角形不等式|a|-|b|<=|a b|<=|a| |b|的证明：