柯西中值定理的充要条件（柯西中值定理洛必达法则）

本文主要是介绍柯西中值定理推导x→a时0/0型的洛必达法则的思路。

柯西中值定理：

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a，b]上连续；

(2)在开区间(a，b)内可导；

(3)对任一x∈（a，b)，F'(x)≠0，

那么在(a，b)内至少有一点 ε( a＜ε＜b)，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]＝f'(ε)/F'(ε)

成立。

x→a时，0/0型的洛必达法则：

设

(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于0；

(2)在点a的某去心邻域内f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；

(3)x→a时 f'(x)/F'(x)的极限存在(或为无穷大)，

那么

柯西中值定理推导上述型式的洛必达法则思路如下：

由于 f(x)/F(x)在x→a时的极限与f(x)和F(x)在x=a处的值无关。我们可以假定f(a)=F(a)=0，再结合上述洛必法则里的条件(1)和条件(2)可知，f(x)和F(x)在a的某一邻域内是连续的。设x是这一邻域内的一点，那么在以x和a为端点的区间上f(x)和F(x)满足柯西中值定理的3个条件，因此有

[f(x)-f(a)]/[F(x)-F(a)]＝f'(ε)/F'(ε)

即f(x)/F(x)=f'(ε)/F'(ε) (式1） 成立，

其中ε介于x与a之间。当x→a时对式(1)等号两端求极限，由于x→a时，ε→a，再根据上述洛必达法则里的条件(3)便得到了想要证明的结论。

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