三个数的排序常用方法（数的环形排序问题）

将1、2、3……10这10个整数，按照一定的顺序围成一圈。

问题1：是否存在一种顺序，使得相邻三个数的和的最大值为18。

解：存在，如图1。

图1

问题2：是否存在一种顺序，使得相邻三个数的和的最大值为16。

解：不存在。

设a1、a2、a3……a10是将1、2、3……10这10个整数的一种环形排列。

则

（a1 a2 a3） （a2 a3 a4） （a3 a4 a5） …… （a9 a10 a1） （a10 a1 a2）

=3×（a1 a2 a3 …… a10）

=3×（1 2 3 …… 10）

=165。

假设相邻三个数的和的最大值为16，则上式中的和不可能大于160，这与上式中的和为165矛盾。所以假设错误。

问题3：是否存在一种顺序，使得相邻三个数的和的最大值为17。

解：要使相邻三个数的和最大值不超过17，10与9、8、7之间至少要间隔2个数，如图2，9，8，7三数必须在下方的五个位置中。

图2

不妨假设9在左侧，由于9与8之间至少间隔2个数，9与7之间至少间隔1个数。所以9、8、7的位置只有以下5种情况：

情况1：如图3。

图3

填好1，2以后，6无处安放，如图4。

图4

情形2：如图5。

图5

因为6不能与10相邻，这时6只能与9相邻，这时1、2既需要与7、8相邻，又需要与6、9相邻，不能实现。

情形3：如图6。

图6

这时6只能放9或者8上面的位置，无论放那里，5、4没地方放。

情形4：如图7。

图7

因为6不能与10相邻，这时6只能与9相邻，这时1、2既需要与7、8相邻，又需要与6、9相邻，不能实现。

情形5：如图8。

图8

发展如图9，这时6无处放。

图9

综上，相邻三个数的和的最大值为17是不可能的。

对于问题3，不知道是否有简明的方法，在此求教方家。